高数集合知识点
2023-01-30 16:11:14 7 举报AI智能生成
集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批科学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。
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大纲/内容
一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）
全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N
所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。
全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。
全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。
全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。
概念
把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合
列举法
用集合所有元素的共同特征来表示集合
描述法
集合的表示方法
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊂B。
子集
如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。
相等
如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A⊆B。
真子集
我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。
空集
集合间的基本关系
任何一个集合是它本身的子集。
对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
结论
即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。
一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）
并集
即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。
一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A∩B。
交集
通常记作U。
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。
全集
即CUA＝｛x|x∈U，且x 不属于A｝。
对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集。简称为集合A 的补集，记作CUA。
补集
A∪B=B∪A A∩B=B∩A
交换律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C）
（A∪B)∪C=A∪(B∪C)
结合律
（A∩B)∪C=（A∪C）∩（B∪C)
（A∪B)∩C=（A∩C）∪（B∩C)
分配律
CU（A∩B)=CUA∪CUB
CU（A∪B)=CUA∩CUB
对偶律
运算公式
集合的基本运算
我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
有限集
用card 来表示有限集中元素的个数。
一般地，对任意两个集合A、B，有card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)
集合中元素的个数
我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化， 我们把其称之为常量
常量
有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其 称之为变量。
变量
表示不小于a 的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞
[a，+∞)
表示小于b 的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b
(-∞，b)
表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞
(-∞，+∞)
变量的表示
常量与变量
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