勾股定理证明方法7
2023-02-16 19:33:59 2 举报
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勾股定理,是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
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大纲/内容
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS)
三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。
在这个定理的证明中,我们需要如下四个辅助定理:
证明原理
从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,把上方的两个正方形,通过等高同底的三角形,以其面积关系,转换成下方两个同等面积的长方形。
证明思路
设△ABC为一直角三角形,其直角为∠ACB。
其边为BC、AB和CA,依序绘成四方形CBKG、BADE和ACHF。
画出过点C之BE、AD的平行线,分别垂直AB和DE于M、L。
分别连接BF、CD,形成△ABF、△ADC。
∠ACB和∠ACH都是直角,因此H、C和B共线,同理可证A、C和G共线。
∠BAD和∠FAC都是直角,所以∠CAD=∠FAB。
因为AC=AF,AD=AB,所以△ADC≌△ABF。
因为C与M和L在同一直线上,所以四边形ADLM的面积(AD*AM)等于△CAD的2倍(AD*AM/2)。
因为H、C和B在同一直线上,所以正方形ACFH的面积(AF*AC)等于△FAB的2倍(AF*AC/2)。
因此四边形ADLM=ACHF=AC²=a²。
同理可证,四边形BMLE=CBKG=BC²=b²。
把这两个结果相加,AC²+BC²=AD×AM+ML×MB
由于AD=ML,AD×AM+ML×MB=AD(AM+MB)=AD×AB
由于ADEB是个正方形,因此AC²+BC²=AB²,即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法7
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