勾股定理证明方法7
2023-02-16 19:33:59 2 举报AI智能生成
勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
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大纲/内容
证明原理
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）
三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明思路
从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。
设△ABC为一直角三角形，其直角为∠ACB。
其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBKG、BADE和ACHF。
画出过点C之BE、AD的平行线，分别垂直AB和DE于M、L。
分别连接BF、CD，形成△ABF、△ADC。
∠ACB和∠ACH都是直角，因此H、C和B共线，同理可证A、C和G共线。
∠BAD和∠FAC都是直角，所以∠CAD=∠FAB。
因为AC=AF，AD=AB，所以△ADC≌△ABF。
因为C与M和L在同一直线上，所以四边形ADLM的面积（AD*AM）等于△CAD的2倍（AD*AM/2）。
因为H、C和B在同一直线上，所以正方形ACFH的面积（AF*AC）等于△FAB的2倍（AF*AC/2)。
因此四边形ADLM=ACHF=AC²=a²。
同理可证，四边形BMLE=CBKG=BC²=b²。
把这两个结果相加，AC²+BC²=AD×AM+ML×MB
由于AD=ML，AD×AM+ML×MB=AD(AM+MB)=AD×AB
由于ADEB是个正方形，因此AC²+BC²=AB²，即a²+b²=c²。
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