勾股定理和勾股定理逆定理
2023-02-16 19:40:58 3 举报AI智能生成
在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
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大纲/内容
１、勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ，b ，斜边为c ，那么a²+b²=c²
勾股定理的由来
勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理
我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦
早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾三，股四，弦五”形式的勾股定理
后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的 平方和等于斜边的平方
2、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
３、勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形
对于锐角三角形和钝 角三角形的三边就不具有这一特征
因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
4、勾股数
含义
满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数
注意
①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数
② 一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数
5、勾股定理的逆定理
如果三角形 ABC 的三边长分别是 a，b，c， 且满足a²+b²=c²，那么三角形 ABC 是直角三角形
这个定理叫做勾股定理的逆定理
该定理在应用时，要注意处理好如下几个要点
① 已知的条件：某三角形的三条边的长度
②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方
③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角
④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形
数形结合
最大边的平方＜最小边的平方+中间边的平方：是锐角三角形
最大边的平方＞最小边的平方+中间边的平方：是钝角三角形
说明
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法
它通过 “数转化为形”来确定三角形的可能形状
在运用这一定理时应注意
首先确定最大边，不妨设最长边长为：c
分别求出 c平方与 a平方+b平方，判定 c平方与 a平方+b平方是否具有相等关系
若a²+b²=c²，则△ ABC 是以∠C 为直角的直角三角形
若a²+b²<c²，则△ ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形
若a²+b²>c²，则△ ABC 为锐角三角形
小贴士
定理中a，b，c及a²+b²=c²只是一种表现形式
不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a²+c²=b²
那么以a，b,c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边
6、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关
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