自考概率论与数理统计（二）(02197)
2023-07-10 14:04:16 3 举报AI智能生成
自考概率论与数理统计（二）(02197)每章核心重点
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大纲/内容
第一章 随机事件与概率
随机事件
随机事件与关系运算
事件的包含与相等
和事件
积事件
差事件
事件A发生且B不发生的事件，记作A-B
互不相容事件
对立事件
A的逆的逆 = A
全集的逆 = 空集，空集的逆 = 全集
A-B = A∩B的逆 = A - AB
运算律
交换律
结合律
分配律
对偶律
概率
古典概型
概率的定义和性质
性质1
0≤P(A)≤1,P(∅)=0
性质2
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
A与B互不相容时，P(A∪B)=P(A)+P(B)
性质3
P(B-A) =P(B)-P(AB)
当B包含A时，P(B)-P(A)=P(B)-P(A)，P(B)≥P(A)
条件概率
条件概率与乘法公式
条件概率公式
P(A|B)=P(AB)/P(B)
乘法公式
P(B)P(A|B)=P(AB)
全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
贝叶斯公式
事件的独立性
事件的独立性
性质4
若P(AB) = P(A)P(B)，则称A与B相互独立
性质5
设P(A)＞0，A与B相互独立的充分必要条件是P(B)=P(B|A)
设P(B)＞0，A与B相互独立的充分必要条件是P(A)=P(A|B)
性质6
若A与B相互独立，则A与，与B，和的逆都相互独立
P(A∪B)=1-P(A逆)-P(B逆)
n重伯努利实验
第二章 随机变量及其概率分布
离散型随机变量
离散型随机变量及其分布律
性质
Pk≥0,k=1,2,3,4,....
0-1分布
0<p<1，q=1-p，称x服从0-1分布
二项分布
0<p<1，p+q=1，称X服从参数为n,p的二项分布，X~B(n,p)，n为次数，p为概率
n = 1时，X服从0-1分布，0-1分布式二项分布的特例
泊松定理
λ = np
泊松分布
λ＞0，X服从参数为λ的泊松分布，X~P(λ)
随机变量的分布函数
分布函数的概念
F(x)=P{X≤x}
分布函数的性质
性质
0≤F(x)≤1
F(x)是不减函数，即对任意的x1<x2有F(x1)<F(x2)
F(-∞) = 0，F(+∞) = 1
F(x)右连续
分布函数F(x)重要事件概率
F(b) = P{X≤b}
F(b) -F(a) = P{a < X ≤ b}，其中a < b
1-F(b) = P{X > b}
连续型随机变量及其概率密度
定义
若对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负数f(x)，使得对任意实数x，有，
则称X为连续型随机变量，并称f(x)为X的的概率密度函数，简称概率密度
则称X为连续型随机变量，并称f(x)为X的的概率密度函数，简称概率密度
性质
f(x)≥0
设x为f(x)的连续点，则F'(x) = f(x)
均匀分布
X服从区间[a,b]的均匀分布X~U(a,b)
概率密度
分布函数
概率公式
X~U(a,b)，a≤c＜d≤b，即
指数分布
＞0为常数，则称X服从参数为的指数分布，简记为X~E()
概率密度
分布函数
正态分布
概率密度
分布函数
性质
曲线关于直接x = μ 对称，任何h>0有 P{μ-h＜X≤μ} = P{μ＜X≤μ+h}
x = μ时，取到最大值
当σ给定时，μ1＜μ2时，两条曲线沿着x轴平移
当μ给定时，σ1＜σ2时，σ小图形变尖且分散程度小,σ大图形平缓且分散程度大
标准正态分布
当μ = 0，σ = 1时的正态分布称为标准正态分布N(0,1)
概率密度
性质
关于y轴对称，x = 0取得最大值
分布函数
性质
一般正态分布的分布函数与标准正态分布的关系
随机变量函数的概率分布
离散型随机变量函数的概率分布
把满足g(xk) = y的xk所对应的概率相加即可
连续型随机变量函数的概率分布
定理
设X为连续型随机变量，其概率密度为fx(x)，要求Y = g(X)是一个严格单调的可导函数，
其值域为（α，β），且g'(x) ≠ 0。记x=h(y)为y=g(x)的反函数，则Y = g(X)的概率密度为
其值域为（α，β），且g'(x) ≠ 0。记x=h(y)为y=g(x)的反函数，则Y = g(X)的概率密度为
一定要记住求导后是绝对值
第三章 多维随机变量及其概率分布
多维随机变量的概念
二维随机变量及其分布函数
联合分布函数
设(X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y,二元函数称为X与Y的联合分布函数或二维随机变量(X,Y)的分布函数
二元函数
边缘分布函数
X与Y各自的分布函数分别称为(X,Y)关于X与关于Y的边缘分布函数，记为Fx(x)与Fy(y)
性质
单调性
有界性
右连续性
非负性
二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律
分布律
pij = P{X=xi,J = yj},i,j = 1,2,···为二维离散型随机变量（x,y）的分布律
X的边缘分布律
Y的边缘分布律
二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度
概率密度
设二维连续型随机变量（X,Y）的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积的二元函数f(x,y)，使得对任意的x,y有F(x,y)，
则称（X,Y）是二维连续型随机变量，并称f(x,y)为（X,Y）的概率密度
则称（X,Y）是二维连续型随机变量，并称f(x,y)为（X,Y）的概率密度
性质
非负性
规范性
若f(x,y)在点(x,y)出连续，则有
设D使XOY平面上的一个区域，则二维随机变量（X,Y）落在D内的概率为
均匀分布
设D是平面上的一个有界区域，其面积为S＞0，如果二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)，则称（X,Y）在区域D上服从均匀分布，
记作（X,Y）~Ud。
记作（X,Y）~Ud。
边缘概率密度
对于二维连续型随机变量（X,Y）,其分量X与Y各自的概率密度分别称为（X,Y）关于X与关于Y的边缘概率密度，记为fx(x)与fy(y)
随机变量的独立性
两个随机变量的独立性
设二维随机变量（X,Y）的分布函数为F(x,y)，边缘分布函数分别为Fx(x)，Fy(y)，若对任意x,y有
，则称随机变量X和Y相互独立
，则称随机变量X和Y相互独立
二维离散型随机变量的独立性
设（X,Y）为二维离散型随机变量，其分布律为
边缘分布律为
对于（X,Y）的所有的取值xi,yi有
即对应的边缘概率分布相乘
二维连续型随机变量的独立性
二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)，关于X与关于Y的边缘概率密度为fx(x)和fy(y)，若
几乎处处成立，则随机变量X和Y是相互独立的
两个随机变量的函数的分布
两个离散型随机变量的函数的分布
两个相互独立的连续型随机变量之和的概率分布
第四章 随机变量的数字特征
随机变量的数学期待
离散型随机变量的数学期望
0-1分布
二项分布
泊松分布
连续型随机变量的数学期望
定义
设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若广义积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望（简称为期望或均值），记为E(X)
均匀分布
指数分布
正态分布
二维随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
二维随机变量函数的数学期待
离散型随机变量函数的数学期待
连续型随机变量函数的数学期待
数学期望的性质
设c是常数，则E(c) = c
设X是随机变量，c是常数，则E(cX) = cE(x)
设X,Y均为随机变量，则E(X+Y) = E(X)+E(Y)
设X,Y均为相互独立的随机变量，E(XY) = E(X)·E(Y)
方差
方差的概念
方差公式
不论X为离散型还是连续型随机变量，通常采用下式计算方差
常见的随机变量的方差
0-1分布
二项分布
泊松分布
均匀分布
指数分布
正态分布
方差的性质
设X是随机变量，c是常数
设X是随机变量，c是常数
设X,Y相互独立的随机变量
协方差与相关系数
协方差
随机变量X与Y的协方差记为
离散型随机变量协方差
连续型随机变量协方差
不论X为离散型还是连续型随机变量，通常采用下式计算方差
如果X = Y
协方性质
Cov(X,C) = 0，C为常数
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
Cov(aX,bY) = abCov(X,Y),a,b为任意常数
Cov(X+Y,Z) = Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)
若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0
相关系数
定义
若D(X)＞0，D(Y)＞0，称为随机变量X与Y的相关系数
性质
称随机变量X与Y不相关
第五章 大数定律与中心极限定理
切比雪夫不等式
设随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)均存在，则对任意＞0，成立下式
中心极限定理
独立同分布序列的中心极限定理
拉普斯拉中心极限定理
第六章 统计量及其抽样分布
统计量及分布
样本均值及其抽样分布
样本均值
设X1,X2,X3,...,Xn为来自某总体的样本，其算术平均值称为样本均值，一般用表示
样本均值数学期望
样本均值方差
近似分布服从
样本方差与样本标准差
样本方差
设X1,X2,X3,...,Xn 为取自某总体的样本，则
样本标准差
此定理表明，样本均值的数学期望与总体的数学期望相同，而样本均值的方差是总体方差的1/n
正态总体的抽样分布
卡方分布
自由度为n的分布，记为
数学期望
方差
第七章 参数估计
点估计几种方法
矩法估计
用样本均值估计总体的数学期望E(X)，即E(X) =
用估计总体方差D(X)，即
点估计的评价标准
无偏性
参数的区间估计
置信区间
估计函数
置信区间
估计函数
置信区间
第八章 假设检验
假设检验的基本思想和概念
两类错误
一类错误：拒真错误
H0成立的情况下，样本值落入W，因而被H0拒绝 .
二类错误：取伪错误
H0不成立情况下，样本值未落入W，因而被H0所接受
正态总体均值的假设检验
u检验
方差已知时,单个正态总体均值检验
检验统计量
拒绝域
t检测
方差未知时,单个正态总体均值检验
检验统计量
拒绝域
自由度
n-1
核心表格P204
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