四元数
2023-04-09 22:05:35 0 举报AI智能生成
四元数
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大纲/内容
四元数
定义与性质
四元数的表示
代数形式
向量表示
标量和向量的有序对形式
模长
加法和减法
标量乘法
四元数乘法
不遵守交换律
代数形式
矩阵形式
Graßmann 积
纯四元数
如果有两个纯四元数，那么
逆和共轭
将乘法的逆运算定义为 𝑝𝑞-1 或者 𝑞-1𝑝，注意它们的结果一般是不同的.
的共轭为
的共轭为
结果是一个实数，而它正是四元数模长的平方
结果是一个实数，而它正是四元数模长的平方
这个特殊的乘法是遵守交换律的
这个特殊的乘法是遵守交换律的
用这种办法寻找一个四元数的逆会非常高效，
我们只需要将一个四元数的虚部改变符号，
除以它模长的平方就能获得这个四元数的逆了
用这种办法寻找一个四元数的逆会非常高效，
我们只需要将一个四元数的虚部改变符号，
除以它模长的平方就能获得这个四元数的逆了
四元数与3d旋转
因为所有的旋转四元数的实部都只是一个角度的余弦值，假设有一个单位四元数 ，
其对应的旋转角度为，，旋转轴为
其对应的旋转角度为，，旋转轴为
虽然 3D 旋转的矩阵形式可能不如四元数形式简单，而且占用更多的空间，
但是对于大批量的变换，使用预计算好的矩阵是比四元数乘法更有效率的
但是对于大批量的变换，使用预计算好的矩阵是比四元数乘法更有效率的
复数
复数的坐标表示
向量表示
向量表示
复数的性质
加法
乘法
复数的乘法等价于矩阵与向量相乘
复数的矩阵形式
复数的乘法等价于矩阵乘法
注意，复数的相乘是满足交换律的
特殊复数的矩阵形式
模长与共轭
复数相乘与2D旋转
复数的相乘是旋转与缩放变换的复合
如果有一个复数 ，那么 𝑧 与任意一个复数 𝑐 相乘
都会将 𝑐 逆时针旋转度，并缩放
都会将 𝑐 逆时针旋转度，并缩放
二维旋转公式
极坐标
复数的极坐标表示
欧拉公式
极坐标下的旋转
旋转的复合
当对两个 2D 旋转进行复合时，所得到的变换 𝑧 net 仍是一个旋转， 而且与施加的次序无关．
这个等效变换的旋转角是 𝑧1 与 𝑧2 旋转角之和．
这个等效变换的旋转角是 𝑧1 与 𝑧2 旋转角之和．
三维空间中的旋转
旋转的分解
将向量分解为平行于旋转轴和垂直于旋转轴两个分量
分别绕旋转轴进行旋转，然后合并
v∥ 的旋转
v⊥ 的旋转
v 的旋转
Rodrigues’ Rotation Formula:
3D 空间中任意一个 v 沿着单位向量 u 旋转 θ 角度之后的 v′ 为
3D 空间中任意一个 v 沿着单位向量 u 旋转 θ 角度之后的 v′ 为
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