高等数学（图片版）
2023-07-06 07:53:55 1 举报AI智能生成
高等数学归纳总结
作者其他创作
大纲/内容
第一章 函数
函数
考试内容要点精讲
概念
三要数
常见函数
复合函数
反函数
初等函数
4大性质
单调性
判定
定义法
导数（严格单增=单调不减）
应用
根的个数
证明不等式
奇偶性
判定
定义法
导数
奇函数求导是偶函数
偶函数求导是奇函数（反之也成立）
微分
连续的奇函数其原函数都是偶函数
连续的偶函数其原函数中有且仅有一个是奇函数
做题技巧
偶函数在零点的奇数阶导数都为0
奇函数在零点的偶数阶导数都为0
周期性
判定
定义
可导的周期函数其导函数为周期函数
周期函数的原函数不一定是周期函数（如1+cosx）
有界性
判定
定义
闭区间连续 -> 有界
开区间连续且端点导数存在 -> 有界
导数在有限区间上有界 -> 原函数在该区间有界
常见题型的方法与技巧
题型一 复合函数
题型二 函数性态
极限
考试内容要点精讲
极限的概念
数列极限
函数极限
定义
自变量趋于无穷大
自变量趋于有限值
定理
常见分左右函数
极限存在充要条件
极限的性质
局部有界性
保号性
极限值与无穷小之间的关系
极限的存在准则
夹逼准则
求n项和
单调有界准则
多用于递推关系
极限状态
无穷小量
概念
无穷小的比较
无穷小的性质
有限个无穷小的和仍然是无穷小
有限个无穷小的积然是无穷小
无穷小量与有界变量的积仍然是无穷小
无穷大量
概念
无穷大的比较
x->正无穷，指幂对（由大到小）
无穷大的性质
两个无穷大量的积然是无穷大量
无穷大量与有界变量的和仍然是无穷大量
无穷大量和无界变量关系
常考题型的方法与技巧
常见题型
题型一 极限的概念、性质及存在准则
题型二 求极限
常用八大方法
基本极限求极限
有理运算法则
等价无穷小代换
洛必达法则
泰勒公式
夹逼准则
单调有界准则
定积分定义
求n项和（提可爱因子1/n）
求极限常见题型
函数极限
0/0
洛必达
等价无穷小代换
泰勒公式
∞/∞
洛必达
分子分母同除分子和分母各项中最高阶的无穷大
∞-∞
通分化为0/0型
根式有理化（适用于根式差）
提无穷因子，然后等价代换或变量代换、泰勒公式
0*∞
化为0/0
化为∞/∞
1^∞
凑基本极限
改写成指数
利用结论、三部曲
标准型
求极限
写结果
“∞^0”和“0^0”
改写成指数形式，化为“0*∞”
数列极限
不定式
转化为函数极限，用洛必达
n项和的数列极限
夹逼原理
定积分的定义
n项连乘的数列极限
夹逼原理
取对数化为n项和
递推关系x₁=a，x₁₊ₙ=f(x)（n=1，2.....）定义的数列极限
方法1：先证数列收敛，再令极限limxₙ=A存在
方法2：先令极限存在，再根据初步结果证明limxₙ=A
题型三 确定极限式子中的参数
两函数等价——两函数的微分等价
逐个击破
排除法
题型四 无穷小量阶的比较
洛必达
等价无穷小代换
泰勒公式
连续
考试要点
概念
左右极限存在且相等
间断点及其分类
第一类间断点：两端极限存在
可去间断点：左右极限存在且相等
跳跃间断点：左右极限存在不相等
第二类间断点：至少有一个不存在的间断点
无穷间断点：至少有一端的极限为无穷
振荡间断点
题型
连续性的运算与性质
闭区间上连续函数的性质
最值定理
有界性定理
介质定理
零点定理
常考题型的方法与技巧
题型一 讨论连续性及其间断点类型
题型二 介质定理、最值定理、零点定理的证明题
第二章 一元函数微分学
第一节 导数与微分
考试内容要点
导数与微分概念
微分的概念
导数的概念
几何意义
连续、可导、可微之间的关系
求导公式、法则
基本函数
隐函数
反函数
对数
高阶导数
常用高阶导数公式
常考题型的方法与技巧
题型一 导数与微分的概念
利用导数的定义求导数
填空题特值法有限考虑
利用导数定义判定可导性
题型一：再x=a处可导的充要条件
题型二：f(x)|x-a|
题型三：f(x)和|f(x)|可导性之间的关系
题型四：分段函数画图法
题型五：大题
题型二 导数的几何意义
隐函数
参数方程
极坐标
题型三 导数与微分的计算
复合函数求导法
隐函数求导法
参数方程求导法
反函数求导法
对数求导法
对于幂指函数，连乘、连除，开方、乘方等
高阶导数
带公式
归纳
泰勒公式（转成麦克劳林）
适用于具体点
第二节 微分中值定理及导数应用
考试内容精讲
微分中值定理
费马引理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
皮亚诺型余项泰勒公式
极值与最值
极值
定义
单调性
极大值
极小值
定理
极值的必要条件
第一充分条件
第二充分条件(拐点)
第三充分条件
最值
找点
算值
比大小
曲线的凹凸性
定理
拐点
定义
必要条件
第一充分条件
第二充分条件
第三充分条件
曲线的渐进线
水平、铅直、斜渐近线
特别注意ex、arctanx、分段函数
曲线的弧微分与曲率
常考题型的方法与技巧
题型一 函数的单调性、极值与最值
复合函数求导
隐函数求导
用二阶导判断居多
判断题
保号性居多
大题
定义
泰勒
保号性
题型二 曲线的凹向、拐点、渐近线与曲率
题型三 方程根的存在性及其个数
存在性
罗尔定理
零点定理
根的个数
单调性
罗尔定理的推理
若在区间N上f(x)的n阶导不为零，则方程f(x)=0最多有n个实根
题型四 证明函数的不等式
单调性
最大小值
拉格朗日中值定理
泰勒公式
凹凸性
题型五 微分中值定理有关的证明题
证明存在一个ε属于（a，b）,使F[ε，f(ε)，f(ε)一阶导数]=0
分析法
微分方程法
常用辅助函数法
证明存在一个ε，η属于（a，b）,使F[ε，η，f(ε)，f(ε)一阶导数，f(η)一阶导数]=0
不要求ε，η不相等
同一区间两次中值定理（拉格朗日中值定理、柯西中值定理）
要求ε，η不相等
分成两个区间，分别用拉格朗日中值定理
证明存在一个ε属于（a，b）,使F[ε，f(ε)n阶导数]>=0（n>2）
带拉格朗日余项的泰勒公式
第三章一元函数积分学
第一节 不定积分
考试内容要点精讲
两个概念
原函数
不定积分
不定积分的几何意义
原函数存在定理
不定积分的性质
基本不定积分公式
三种主要积分法
第一类换元法（凑）
第二类换元法（变量代换）
分部积分法(表格法)
三种常见可积函数积分
有理数
特殊
三角有理式（万能代换法）
简单无理式
常考题型的方法和技巧
题型一 计算不定积分
加项减项拆项
凑
等级代换
题型二 不定积分的杂例
分段函数的不定积分
先去绝对值、再分段求，切记常数C不等
先积分分段、可不考虑C不等
第二节 定积分
考试内容要点精讲
定积分的概念
定义
分割、匀、求和、取极限
几何意义
曲边梯形得面积
可积性
必要条件
若积分存在，则函数再其区间有界
充分条件
区间连续，定积分存在
区间有界，且只有有限个间断点，则定积分存在
区间内只有有限个第一类间断点，则定积分存在
定积分计算
牛顿莱布尼茨公式
换元积分
分部积分法
奇偶性、周期性
莱布尼兹（点火公式）
子主题
补充几何意义：
变上限积分
区间连续->可导
定积分的性质
不等式的性质
中值定理
积分上限的函数
常考题型的方法与技巧
题型一 定积分的概念、性质及几何意义
题型二 定积分的计算
题型三 变上限积分函数及其应用
连续性
可导性
奇偶性
题型四 积分不等式
变量代换
积分中值定理
变上限积分
柯西不等式
第三节 反常积分
考点内容要点精讲
无穷区间
概念
[a,正无穷]或者[负无穷，a]
极限存在收敛
极限不存在发散
[正无穷,负无穷]
左右极限都存在才收敛
定理
比较判别法（大收小收，小发大发）
比较判别法的极限形式（P积分）
无界函数
瑕积分的概念
敛散性判断定理
比较判别法（找出瑕点，大收小收，小发大发）
比较判别法的极限形式
常考题型的方法与技巧
反常积分的敛散性
反常积分的计算
第四节 定积分的应用
考试内容要点精讲
几何应用
平面图形的面积
旋转体的体积
曲线弧长
旋转体的侧面积
物理应用
压力、变力、引力
质心形心
常考题型的方法与技巧
几何应用
物理应用
第四章 微分方程
考试内容要点精讲
基本概念
阶、解、通解、特解、初始条件、积分曲线
一阶微分方程
可分离变量的方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
可降阶的高阶方程
高阶线性微分方程
线性微分方程的结构（仅了解停留在理论）
常系数齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程
总结一
总结二
常考题型的方法与技巧
题型一 微分方程求解
一阶微分方程
可转换
可分离变量的方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
不可转
x、y对调
变量代换
可降解方程
高阶线性方程
非齐-+非齐=齐次
非齐-齐=非齐次
题型二 综合题
求导？特征方程？调换秩序
题型三 应用题
第五章 多元函数微分学
第一节 概念、理论
考试内容要点精讲
多元函数的极限（重极限）
概念
xy为自变量、z为因变量
证明重极限不存在的常用方法
沿两种不同的路径所得极限不同，通常y=kx
性质（无洛必达）
局部有界性
保号性
有理运算
极限与无穷小
夹逼准则
多元函数的连续性
概念
性质
多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数
多元连续函数的复合函数仍为连续函数
多元初等函数在其定义域内连续
最大定理：有界闭区域D上的连续函数在其区域内必能取最大值和最小值
介质定理：有界闭区域D上的连续函数在其区域内必能取介于最大值和最小值
偏导数
定义
二元函数偏导数的几何意义
高阶偏导数
定理：函数的两个混合偏导数在区域D内连续，则这两个偏导数必定相等
全微分
定义
可微性判断定理
必要条件：可微则偏导数存在
充分条件：该点连续则该点可微
常考题型的方法的技巧
题型 讨论连续性、可导性、可微性
第二节 偏导数与全微分的计算
考试内容要点精讲
复合函数微分
思想原理：变量之间的树形图
全微分形式的不变性
全微分形式的不变性
隐函数微分
公式（多元）
常考题型的方法与技巧
题型一 求具体点的偏导数与全微分
先代后求
题型二 求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分
题型三 含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分
题型四 隐函数的偏导与全微分
极值和最值
考试内容要点精讲
无条件极值
必要条件
充分条件
条件极值和拉格朗日乘数法
最值
内部可能是极值点
边界上的最大最小值
比较
常考题型的方法与技巧
题型一 求无条件极值
AC-B^2
题型二 求最大最小值
找函数
条件最值
应用题
第六章 二重积分
考试内容要点精讲
概念
定义
几何意义：曲顶柱体的体积
性质
不等式性质
中值定理
计算
直角坐标计算
极坐标计算
函数的奇偶性
奇函数对称性为0
变量的轮换对称性
常考题型的方法与技巧
题型一 计算二重积分
题型二 累次积分交换次序及其计算
题型三 与二重积分有关的综合题
题型三 与二重积分有关的不等式问题
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