高等数学（图片版）
2023-07-06 07:53:55 1 举报AI智能生成
高等数学归纳总结
作者其他创作
大纲/内容
三要数
复合函数
反函数
初等函数
常见函数
概念
定义法
导数（严格单增=单调不减）
判定
根的个数
证明不等式
应用
单调性
奇函数求导是偶函数
偶函数求导是奇函数（反之也成立）
导数
连续的奇函数其原函数都是偶函数
连续的偶函数其原函数中有且仅有一个是奇函数
微分
偶函数在零点的奇数阶导数都为0
奇函数在零点的偶数阶导数都为0
做题技巧
奇偶性
定义
可导的周期函数其导函数为周期函数
周期函数的原函数不一定是周期函数（如1+cosx）
周期性
闭区间连续 -> 有界
开区间连续且端点导数存在 -> 有界
导数在有限区间上有界 -> 原函数在该区间有界
有界性
4大性质
考试内容要点精讲
题型一 复合函数
题型二 函数性态
常见题型的方法与技巧
函数
数列极限
自变量趋于无穷大
自变量趋于有限值
常见分左右函数
极限存在充要条件
定理
函数极限
极限的概念
局部有界性
保号性
极限值与无穷小之间的关系
极限的性质
求n项和
夹逼准则
多用于递推关系
单调有界准则
极限的存在准则
无穷小的比较
有限个无穷小的和仍然是无穷小
有限个无穷小的积然是无穷小
无穷小量与有界变量的积仍然是无穷小
无穷小的性质
有限二字必不可少
无穷小量
x->正无穷，指幂对（由大到小）
无穷大的比较
两个无穷大量的积然是无穷大量
无穷大量与有界变量的和仍然是无穷大量
无穷大的性质
无穷大量和无界变量关系
无穷大量
极限状态
f(x)是无穷小且不等于0，则1/f(x)是无穷大，反之也成立
关系
题型一 极限的概念、性质及存在准则
基本极限求极限
有理运算法则
等价无穷小代换
洛必达法则
泰勒公式
求n项和（提可爱因子1/n）
定积分定义
常用八大方法
洛必达
0/0
分子分母同除分子和分母各项中最高阶的无穷大
∞/∞
通分化为0/0型
根式有理化（适用于根式差）
提无穷因子，然后等价代换或变量代换、泰勒公式
∞-∞
化为0/0
化为∞/∞
0*∞
凑基本极限
改写成指数
标准型
求极限
写结果
利用结论、三部曲
1^∞
改写成指数形式，化为“0*∞”
“∞^0”和“0^0”
转化为函数极限，用洛必达
不定式
夹逼原理
定积分的定义
n项和的数列极限
变化部分和主体相比较，如果是次量级，用夹逼；如果是同量级，用定积分定义
取对数化为n项和
n项连乘的数列极限
方法1：先证数列收敛，再令极限limxₙ=A存在
方法2：先令极限存在，再根据初步结果证明limxₙ=A
递推关系x₁=a，x₁₊ₙ=f(x)（n=1，2.....）定义的数列极限
求极限常见题型
题型二 求极限
两函数等价——两函数的微分等价
逐个击破
排除法
题型三 确定极限式子中的参数
题型四 无穷小量阶的比较
传统比较
定义法（和x^k比较）
求导定阶
两函数等价替换
n(m+1)
结论
方法
常见题型
常考题型的方法与技巧
极限
左右极限存在且相等
可去间断点：左右极限存在且相等
跳跃间断点：左右极限存在不相等
第一类间断点：两端极限存在
无穷间断点：至少有一端的极限为无穷
振荡间断点
第二类间断点：至少有一个不存在的间断点
题型
间断点及其分类
连续性的运算与性质
最值定理
有界性定理
介质定理
零点定理
闭区间上连续函数的性质
证明题
考试要点
题型一 讨论连续性及其间断点类型
题型二 介质定理、最值定理、零点定理的证明题
连续
第一章 函数
微分的概念
导数的概念
导数与微分概念
几何意义
连续、可导、可微之间的关系
基本函数
隐函数
对数
求导公式、法则
常用高阶导数公式
高阶导数
考试内容要点
填空题特值法有限考虑
利用导数的定义求导数
题型一：再x=a处可导的充要条件
题型二：f(x)|x-a|
题型三：f(x)和|f(x)|可导性之间的关系
题型四：分段函数画图法
题型五：大题
利用导数定义判定可导性
题型一 导数与微分的概念
参数方程
极坐标
题型二 导数的几何意义
复合函数求导法
隐函数求导法
参数方程求导法
反函数求导法
对于幂指函数，连乘、连除，开方、乘方等
对数求导法
带公式
归纳
适用于具体点
泰勒公式（转成麦克劳林）
题型三 导数与微分的计算
第一节 导数与微分
费马引理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
皮亚诺型余项泰勒公式
微分中值定理
概要
极大值
极小值
极值的必要条件
第一充分条件
第二充分条件(拐点)
第三充分条件
极值
找点
算值
比大小
最值
极值与最值
必要条件
第二充分条件
拐点
曲线的凹凸性
特别注意ex、arctanx、分段函数
水平、铅直、斜渐近线
曲线的渐进线
曲线的弧微分与曲率
考试内容精讲
复合函数求导
用二阶导判断居多
隐函数求导
保号性居多
判断题
泰勒
大题
题型一 函数的单调性、极值与最值
题型二 曲线的凹向、拐点、渐近线与曲率
存在性
若在区间N上f(x)的n阶导不为零，则方程f(x)=0最多有n个实根
罗尔定理的推理
题型三 方程根的存在性及其个数
最大小值
凹凸性
题型四 证明函数的不等式
常用
分析法
微分方程法
常用辅助函数法
同一区间两次中值定理（拉格朗日中值定理、柯西中值定理）
不要求ε，η不相等
分成两个区间，分别用拉格朗日中值定理
要求ε，η不相等
带拉格朗日余项的泰勒公式
题型五 微分中值定理有关的证明题
第二节 微分中值定理及导数应用
第二章 一元函数微分学
原函数
不定积分的几何意义
不定积分
两个概念
原函数存在定理
不定积分的性质
基本不定积分公式
第一类换元法（凑）
第二类换元法（变量代换）
分部积分法(表格法)
三种主要积分法
特殊
有理数
三角有理式（万能代换法）
简单无理式
三种常见可积函数积分
加项减项拆项
凑
等级代换
题型一 计算不定积分
先去绝对值、再分段求，切记常数C不等
先积分分段、可不考虑C不等
分段函数的不定积分
题型二 不定积分的杂例
常考题型的方法和技巧
第一节 不定积分
分割、匀、求和、取极限
定积分的概念
曲边梯形得面积
若积分存在，则函数再其区间有界
区间连续，定积分存在
区间有界，且只有有限个间断点，则定积分存在
区间内只有有限个第一类间断点，则定积分存在
充分条件
可积性
牛顿莱布尼茨公式
换元积分
分部积分法
奇偶性、周期性
莱布尼兹（点火公式）
子主题
补充几何意义：
定积分计算
区间连续->可导
变上限积分
不等式的性质
中值定理
定积分的性质
积分上限的函数
题型一 定积分的概念、性质及几何意义
题型二 定积分的计算
连续性
可导性
题型三 变上限积分函数及其应用
变量代换
积分中值定理
柯西不等式
题型四 积分不等式
第二节 定积分
极限存在收敛
极限不存在发散
左右极限都存在才收敛
比较判别法（大收小收，小发大发）
比较判别法的极限形式（P积分）
无穷区间
瑕积分的概念
比较判别法（找出瑕点，大收小收，小发大发）
比较判别法的极限形式
敛散性判断定理
无界函数
考点内容要点精讲
反常积分的敛散性
反常积分的计算
第三节 反常积分
平面图形的面积
旋转体的体积
曲线弧长
旋转体的侧面积
几何应用
压力、变力、引力
质心形心
物理应用
第四节 定积分的应用
第三章一元函数积分学
阶、解、通解、特解、初始条件、积分曲线
基本概念
可分离变量的方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
一阶微分方程
可降阶的高阶方程
线性微分方程的结构（仅了解停留在理论）
常系数齐次线性微分方程
总结一
总结二
常系数非齐次线性微分方程
高阶线性微分方程
可转换
x、y对调
不可转
可降解方程
非齐-+非齐=齐次
非齐-齐=非齐次
高阶线性方程
题型一 微分方程求解
求导？特征方程？调换秩序
题型二 综合题
题型三 应用题
第四章 微分方程
xy为自变量、z为因变量
沿两种不同的路径所得极限不同，通常y=kx
证明重极限不存在的常用方法
有理运算
极限与无穷小
性质（无洛必达）
多元函数的极限（重极限）
多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数
多元连续函数的复合函数仍为连续函数
多元初等函数在其定义域内连续
最大定理：有界闭区域D上的连续函数在其区域内必能取最大值和最小值
介质定理：有界闭区域D上的连续函数在其区域内必能取介于最大值和最小值
性质
多元函数的连续性
二元函数偏导数的几何意义
定理：函数的两个混合偏导数在区域D内连续，则这两个偏导数必定相等
高阶偏导数
偏导数
必要条件：可微则偏导数存在
充分条件：该点连续则该点可微
可微性判断定理
全微分
题型 讨论连续性、可导性、可微性
常考题型的方法的技巧
第一节 概念、理论
思想原理：变量之间的树形图
全微分形式的不变性
复合函数微分
公式（多元）
隐函数微分
先代后求
题型一 求具体点的偏导数与全微分
题型二 求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分
题型三 含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分
题型四 隐函数的偏导与全微分
第二节 偏导数与全微分的计算
无条件极值
条件极值和拉格朗日乘数法
内部可能是极值点
边界上的最大最小值
比较
三部曲
AC-B^2
题型一 求无条件极值
找函数
条件最值
应用题
题型二 求最大最小值
极值和最值
第五章 多元函数微分学
几何意义：曲顶柱体的体积
不等式性质
直角坐标计算
极坐标计算
奇函数对称性为0
函数的奇偶性
变量的轮换对称性
计算
题型一 计算二重积分
题型二 累次积分交换次序及其计算
题型三 与二重积分有关的综合题
题型三 与二重积分有关的不等式问题
第六章 二重积分
高等数学
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