数学
2023-04-25 10:25:54 20 举报AI智能生成
数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科。它是一门抽象的学科，透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察而产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。数学的基本要素是逻辑和直观、分析和证明、一般性和特殊性，以及从公理到定理的演绎推理。数学的研究可分为纯粹数学和应用数学。纯粹数学是指只考虑理论层面，而不涉及具体应用的数学分支；应用数学则是指将数学原理和方法应用于实际问题的解决中。
作者其他创作
大纲/内容
先贤
欧几里得
公元前330
欧式几何
约翰 伯努利
1667
变分法创始人之一
詹姆士 伯努利
1654
变分法和概率论创始人之一
拉普拉斯
1749
概率论、拉普拉斯变换、天体力学
约瑟夫·拉格朗日
1736
分析力学、拉格朗日内插公式
巴拿赫
1736
Banach空间理论创始人
冯 诺依曼
1903
算子代数 博弈论创始人
高等数学
微积分
极限与积分
导数和二阶导数
方向导数与梯度
凸函数与极值
最优化方法
定积分
不定积分
多元函数
梯度
一阶导数向量称为梯度 (gradient)
分支主题
Hessian矩阵
函数论
函数逼近
小波变换
换基
傅里叶变换
泰勒公式
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。
泰勒公式展开式
子主题 1
泰勒定理
麦克劳林公式
皮亚诺余项
拉格朗日余项
极限
运算法则
等价无穷小
洛必达法则
运筹学（最优化理论）
经典案例
田忌赛马
欧拉七桥
统计学
几何学
射影几何
点列
指一条直线上所有点的集合
该直线称为点列的底
基本点列
收敛点列
极限点
点列的收敛子列的极限
收敛子列
在这个数列里，任取无穷多项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列，任何一个数列都存在无穷多个子数列。
线性代数
向量
通常用小写字母表示
线性无关
行列式不为0
行列式
行列式是一个数 代表了线性变换后面积的比率
分支主题
分支主题
余子式（M）
代数余子式（A）
（-1）M
量
标量（Scalar）
是只有大小，没有方向的量，如1，2，3等
0 维度张量（Tensor）
向量（Vector）
是有大小和方向的量，其实就是一串数字，如(1,2)
矩阵（Matrix）
是好几个向量拍成一排合并而成的一堆数字，如[1,2;3,4]
张量（Tensor）
矩阵
通常用大写字母表示
对称矩阵
分支主题
正定矩阵
分支主题
分支主题
半正定矩阵
分支主题
矩阵范数
运算
矩阵向量乘法
加法和标量乘法
矩阵乘法
矩阵的特征值与特征向量
逆和转置
矩阵乘法特征
概率论
区间估计
置信区间
分别以统计量的置信上限和置信下限为上下界构成的区间
变量
Α α：阿尔法 Alpha2
Β β：贝塔 Beta3
Γ γ：伽玛 Gamma4
Δ δ：德尔塔 Delte5
Ε ε：艾普西龙 Epsilon6
Ζ ζ ：捷塔 Zeta7
Ε η：依塔 Eta8
Θ θ：西塔 Theta9
Ι ι：艾欧塔 Iota10
Κ κ：喀帕 Kappa11
∧ λ：拉姆达 Lambda12
Μ μ：缪 Mu13
Ν ν：拗 Nu14
Ξ ξ：克西 Xi15
Ο ο：欧麦克轮 Omicron16
∏ π：派 Pi17
Ρ ρ：柔 Rho18
∑ σ：西格玛 Sigma19
Τ τ：套 Tau20
Υ υ：宇普西龙 Upsilon21
Φ φ：fai Phi22
Ψ ψ：普赛 Psi24
Ω ω：欧米伽 Omega
古典概率
概率分布
贝叶斯
"逆概"问题
自然语言的二义性
子主题 3
假设检验
联合概率分布
泛函分析
线性空间
定义
集合中的元素经过线性操作还属于该集合
1律
线性操作
加减 数乘
基
n个线性不相关的向量
维数
n维
范数(norm)
衡量向量的大小
欧几里得范数
p=2
欧几里得距离
三公理
正定性
齐次性
三角不等式
1-范数
各个元素的绝对值之和
2-范数
每个元素的平方和再开平方根
无穷范数
正无穷范数（无穷范数）
所有元素的绝对值中最大的
负无穷范数
所有元素的绝对值中最小的
赋范线性空间(normed linear space)
在线性空间中引进一种与代数运算相联系的度量，即由向量范数诱导出的度量。赋范线性空间称为Banach空间
分支主题
不动点定理
Banach不动点定理（压缩映射定理）
不动点
y=φ(x)与y=x的交点
迭代法
不动点迭代又称为简单迭代（simple iteration）
算子
线性赋范空间到线性赋范空间的映射
压缩算子
一定连续
泛函
线性赋范空间到R的映射
度量空间
n维欧式空间的推广
距离
距离空间（X，d）
d（x，y）
非负性
对称性
d（x，y） = d（y，x）
三点不等式
d（x，y）<= d（x，z）+d（z，y）
开闭集
开集
开球（二维空间、开圆）
（X,d）距离空间，d(x,x0)<r
每个点都是内点
闭集
闭球（二维空间、闭圆）
有界集
内点
下降方向的定义
f（x）在点处导数与一个向量dk内积小于零
牛顿方向
海森矩阵
函数的二阶导矩阵
最速下降方向
数值分析(numerical analysis)
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