数学通识讲义
2023-07-23 17:52:19 0 举报AI智能生成
从数学的基本概念出发，介绍了数理逻辑、初等几何、微积分、线性代数等多个领域的知识，并将这些知识点串联起来，形成了一个完整的数学体系。可以了解到数学的基本原理和思想方法，掌握数学的应用技能和解决问题的能力。数学不仅是一种工具，更是一种思维方式和文化传承。通过学习数学，我们可以更好地理解自然界和社会现象，发现规律和模式，提高创造力和创新能力。
作者其他创作
大纲/内容
基础篇
第一章 理解数学的线索：毕达哥拉斯
勾股定理
演变历程：特例-猜想-定理
数学思维依据的是永远不会变的事实，以及并不复杂的逻辑推理。
黄金分割
1 : 0.618
单点透视法
两点和多点透视法
或1.618
0.384
在很多需要做决定的事情上，可以考虑做决定的时间放在黄金分割点或者反方向的黄金分割点上。
优选法
优选法是一种解决最优化问题的方法。世界上很多问题最后都可以归纳为数学上的最优化问题。
优选法有两个含义：首先它能够找到实际问题的最优解；其次，它强调寻找最优解的方法本身也应该是最简单的，或者说最优化的
就是用最少的试验次数来找出最优解在哪里
第二章 数列与级数
数列
根据数列，推算出整个序列的变化规律，或者说走势。
数列变化趋势
1、变化趋势：增加&减少
2、变化快慢
3、从数值变化倒推变化时长
从考察一个个孤立的数，变成揭示一些规律和趋势。元素的增减和增减的速率
收敛
扩散
级数
一个数列的级数，就是它所有项或者有限项的和
等差级数
等比级数
等额本息偿付方式所支付的总利息
等额本金偿付所支付要少些
第三章 数学的边界
数学也有边界，局限性，不是万能的。
数字篇
第四章 方程：新方法和新思维
更好的学习方法是重视前后知识的逻辑联系，让前面学到的方法能为后面所用，实现可叠加的进步。
在道的层面，方程的意义是指在思维方式上的意义。逆向思维-----对于要解决的问题先存疑，带着疑问把问题描述清楚，然后反向推理，一步步得到答案。
最重要的是把实际问题变成数学问题，然后知道如何利用各种软件工具来解决
Mathematica 软件
虚数
负数的平方根
思考：明明是现实世界的问题，而且在现实世界里也有答案，但却无法直接得到，非要发明一个不存在的东西作为桥梁。发明这种桥梁通常需要我们具有非常强的抽象思维能力，善于引入一个和实际问题看似无关的工具来解决问题。（媒介）
人类认识数的过程
自然数-》整数-〉有理数-》实数-〉复数
抽象思维能力，不仅在于理解那些人们虚构出的概念，更在于利用他们接近真实的问题。
第五章 无穷大和无穷小：从数值到趋势
无穷大（或无穷小）代表着一种新的科学世界观，就是让我们关注动态变化的趋势，特别是发展变化延伸到远方之后的情况
无穷小的两个条件
1、它不是零
2、它的绝对值小于任何一个你能够给定的数
养成不再以一个个点的视角去看待时间和空间，而是以一种种趋势去把握它们的规律，便达到了高等教育的目的
导数的概念适用于对任何函数变化细节的描述，从而找出世界上任何变化瞬间的变化规律
增长越快的函数阶越高，增长越慢的函数阶越低
几何篇
第六章 基础几何学：公理化体系的建立
平面几何所需要度量的最主要的对象，一个是长度，另一个是角度
5条一般性公理
1、如果 a=b，b=c，那么 a=c
2、如果 a=b，c=d，那么 a+c=b+d
3、如果 a=b，c=d，那么a-c=b-d
4、彼此能重合的物体（图形）是全等的
5、整体大于部分
5条几何公理
1、由任意一点到另外任意一点可以画直线（直线公理）
2、一条有限直线可以继续延长
3、以任意点为心，以任意的距离（半径）可以画圆（圆公理）
4、凡直角都彼此相等（垂直公理）
5、过直线外的一个点，可以做一条而且仅可以做一条该直线的平行线（平行公理）
数学的通识教育，就是教会我们改掉自身固有的直观思维的习惯，学会利用逻辑推理，从确定无误的现有知识出发，解决未知的问题，或者发现前人没有发现的结论。
第七章 几何学发展
数学的美妙之处在于它的逻辑自洽性和系统之间的和谐性
圆周率
圆有两个特别好的性质
1、在各个方向上的对称性
2、特别平滑
解析几何（笛卡儿几何）
平面直角坐标系（笛卡儿坐标系）
它把一个平面的任意一个点，根据水平和垂直两个维度进行定位。
代数篇
第八章 函数：重要的数学工具
运算有正向的和逆向的；要解决逆向的问题，就需要引入未知数这个工具，算术就逐渐发展成了代数。
各种函数的四个共性
1、函数里面都有变量
2、它们都有一个对应关系
3、上述的对应关系是确定的
4、函数所对应的关系可以通过数学的方法或其他方法算（或者找）出来
函数是一种特殊的对应关系，变量的每一个取值只能对应一个函数值。
定义域
值域
函数的本质
一个变量随着其他变量变化的关系
常数思维-变量思维-函数思维
函数反映出了事物的发展趋势和走向结果，而且带有确定性。我们带入变量，就能知道结果。
第九章 线性代数：实用工具
向量
既有大小，也有方向
表示方法
1、极坐标表示法
2、笛卡儿坐标表示
标量
只有数值，没有方向
在这个世界上，对于大多数物理量和在生活中遇到的数量，我们不仅需要关心数字的大小，还需要关心方向。
余弦定理
特征向量
矩阵：多元思维的应用
矩阵加法
矩阵相乘
在矩阵相乘时，每一次运算都是由左边矩阵的行向量和右边矩阵的列向量相乘。
矩阵的加法反映出核心数量值和微小增量的关系；矩阵的乘法，则体现出将很多维度的信息综合考虑批处理的原则。
微积分篇
第十章 微分
导数的本质，就是对原函数变化快慢的规律性的描述。
只有在任何时刻（或者当前位置）知道了梯度，然后沿着最陡但是收益最大的路径前进就好。
奇点：变化连续和光滑是稳定性的基础
如果一条曲线在某一个点处是连续的，“光滑的”，该曲线在这个点就可导。
导数不仅能反映出函数变化的趋势，而且能反映出它变化的连续性和光滑程度。
微分反映出函数在某个位置变化的具体数值。也就是说导数和微分它们一个表示变化率，一个表示变化具体的梳理，因此它们是相关的。
第11章 积分：从微观变化了解宏观趋势
给定一个曲线，求它下方到x轴之间的面积，就是积分。
积分思想的本质就是要从动态变化来看累积效应。
积分的滞后效应。
最优化问题：用变化的眼光看（函数）最大值和最小值
概率和数理统计篇
第12章 随机性和概率论：如何看待不确定性
单位事件：一种可能性相同的基本随机事件
古典概率
伯努利分布（两点分布）
数学期望值（均值）讲的是在同样的条件下多次重复某个随机试验，所得到结果的平均值。
一个随机变量的概率分布曲线越平，方差越大，越向中间集中，方差越小。
第13章 小概率和大概率：如何资源共享和消除不确定性
高斯分布（正态分布）
34.1%、13.6%、2.1%
置信度
3a原则（68-95-99.7原则）
一个标准差，置信度为68%
两个标准差，置信度为95%
三个标准差，置信度为99.7%
第14章 前提条件：度量随机性的新方法
概率、联合概率和条件概率
贝叶斯公式
第15章 统计学和数据方法：准确估算概率的前提
统计学是一门独立的学科，它是关于收集、分析、解释、陈述数据的科学，不能和概率论混为一谈。统计学的数学基础是概率论
统计学研究的目的，通常是从大量数据中寻找规律性，特别是寻找不同因素之间的相关性，以及可能存在的因果关系。
做好统计5步
1、设立研究目标
2、设计试验，选取数据
3、根据试验方案进行统计和实验，分析方差
4、分析和解释统计结果，并且根据分析进一步了解数据，提出新假说
5、使用研究结果
在统计中，“原因的原因不是原因”，这是我们要牢记的原则。
古德-图灵折扣估计：解决零概率事件问题
古德思想的核心是从高频的随机事件中拿出一点概率总量分配到低频的随机事件头上，再从低频的随机事件中拿出一些概率总量，分配给在统计时没有见到的随机事件。
概率是一种世界观，统计是一种方法论
灰度
终篇
数学在人类知识体系中的位置
笛卡儿哲学思想
1、相对的因果时空观
2、对离散的世界的理解
哲学是建立在对世界本原认识的基础之上的
自然科学最典型的特征则是其自然属性，研究的是自然现象和自然现象产生的规律。
方法：
1、从简单的观察上升到理性的分析
2、从给出原则性结论到量化的结论
3、将自然科学公式化，或者说用数学的语言来描述自然科学
养成理性和量化地处理我们日常工作的习惯，建立和他人的沟通基础。
逻辑学
1、同一律
一个事物只能是其本身（世界上任何一个个体都是独一无二的）
2、矛盾律
在某个事物的某一个方面（在同一时刻），不可能既是A又不是A
四个同一
同一时间、同一方面、同一属性、同一对象
3、排中律
任何事物在明确的条件下，都要有明确的“是”或“非”的判断，不存在中间状态。
4、充分条件律
任何结论都要有充足的理由。
管理学
关键路径（在关键路径上优化）
企业
1、愿景使命
一家企业存在的理由
2、价值观
体现了企业中的人和外界各种人的关系
3、企业文化
企业文化则反映了企业中人和人的关系
历史学
通过归纳和演绎的方法，构建出一个能够自洽的知识体系。
每个人立足于社会，也应该有自己心中的公理、定理和推论。（头顶的星空和内心的道德律）
乐观主义激情。“我们必须知道，我们必将知道”
总：
通识教育的本质，即能够将这些知识用于许多地方，而不仅仅是直接用来做具体的事情
1、增强判断力，遇到问题知道如何判断
2、增强解决问题的能力，对于一个未知问题，知道如何一步一步抽丝剥茧地解决它
3、增强使用工具的能力，遇到新的问题，知道用什么工具来解决，或者找谁来帮忙
人要想成为社会的精英，首先要在精神上成为精英，这样才能以精英的方式思考，以主人的态度做事，才能超出常人。
数学上的结论只能从定义和公理出发，使用逻辑，通过严格证明来得到，不能靠经验总结出来
数学是推导出来的
公理和逻辑
数学思维是从不可能变的事实出发，利用逻辑找出矛盾，发现问题，然后再设法解决问题。
数学的原则，是少数我们能够信赖的原则
人要做大事，心中就应该有自己的公理化体系，有自己始终不变的做人原则
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