平面向量
2023-08-09 17:24:41 3 举报AI智能生成
现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。
作者其他创作
大纲/内容
概念
定义
在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量。
与之相对的是只有大小、没有方向的量，叫标量。
表示法
平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示
用有向线段或、来表示
零向量单位向量
长度等于0的向量叫做零向量，记作。
向量模（绝对值）
有向线段的长度叫做向量的模
关系
平行向量
又称共线向量，方向相同或相反的非零向量，记作//
向量相等
长度相等，方向相同的向量，记作
向量相反
长度相等，方向相反的向量
应用
几何中向量方法
基底
在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。
建系
正弦、余弦定理
余弦定理
余弦定理： 三角形中任何一边的平方、 等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a²=b²+c²-2bc
b²=c²+a²-2ca
c²=a²+b²-2ab
正弦定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
==
三角形积公式
方向角、方位角、仰角、俯角
运算
向量加法
定义
已知向量、，再作向量，则向量叫做、的和，记作+，即有：+=。
法则
=
+=+
运算率
与共线同向
=,=,则=
与共线反向
=,=,则=
等号成立，共线同向
|+|≤||+||
向量减法
定义
已知向量、，再作向量，则向量叫做、的差，记作-，即有：-=。
等号成立，共线反向
|+|≥||-||
向量数乘
一般地， 我们规定实数λ与向址a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
Iλal=Iλ||a|
当λ=0时，λa=0
当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反
(-1)a=-a
向量数量积
已知两个非零向量与, 它们的夹角为θ, 我们把数量lI lIcosθ叫做向量与的数量积
记作：=
零向量与任一向量的数量积为0
向量积
已知两个非零向量, , O是平面上的任意一点，作=, =，则∠AOB=θ，（0≤θ≤π）叫做向量与的夹角
那么×叫做与的向量积或外积，向量积几何意义是以和为边的平行四边形面积，即S=|a×b|。
定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，，使a=+。
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