矢量分析与场论
2024-09-18 18:13:23 10 举报AI智能生成
第一张内容思维导图
作者其他创作
大纲/内容
矢量运算
矢量表示
要知道怎么表示出一个矢量
单位矢量
矢量乘法
点乘、叉乘的运算
坐标系
直角坐标系
线元、面元、体积元
圆柱坐标系
理解角度对应要对应弧度
球坐标系
角度也可以用单位矢量点乘表示
矢量转换
坐标系之间的转换关系，理解单位矢量求偏导数
矢量场
力线方程
有向线、切向方向
疏密程度表示模值大小
不能相交（相交方向不确定）
通量、散度
面的方向（2种）
通量：法线方向的量度，判断是否有源
散度：通量体密度，是标量，反映各自分量在各自方向变化率
环量、旋度
环量：闭合曲线积分，涡旋性，体现缠绕、闭合能力，判断是否有旋
旋度：环量面密度，矢量，反映场分量在其垂直的方向上的变化情况
旋度、叉乘计算可以利用XYZX这种顺序来记忆
标量场
等值面
不会相交
疏密程度反映变化情况
方向导数
方向余弦
梯度
反映标量场最大变化率和方向，矢量
理解梯度的性质
三维空间：梯度方向与外法线方向一致
三度比较
散度
通量源
散度定理（体积分、闭合面积分转换，加上通量更好理解）
旋度
旋涡源
斯托克斯定理（闭合线积分、面积分转换，加上环量更好理解）
梯度
标量场最大变化率和方向
注意线和面都是矢量，书写的时候不要忘记方向
亥姆霍兹定理
位于空间有限区域内的任一矢量场，由它的散度、旋度和边界条件唯一确定
对于一个矢量，只有知道其散度、旋度及边界条件，该矢量才能唯一的确定下来
反证法证明：假设两个不相等的矢量有相同的散度和旋度，利用满足拉普拉斯方程的函数不会出现极值（若为最大值，一阶导数大于0，二阶导数小于0），常数的梯度为0，所以可以证明两个矢量相等。
算子
哈米尔顿算子
矢量性：可看为法向，由梯度堆到
微分性
拉普拉斯算子
算子和加减乘除、导数积分一样，都是一个符号，都可以和其他符号一样替换使用
矢量恒等式
旋度的散度恒等于0
标量函数梯度的旋度恒为0
理解其他重要恒等式，可假设非零常矢量来证明相关恒等式，即该矢量的散度和旋度都为0
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