一元二次函数、方程和不等式
2023-10-27 15:49:14 11 举报AI智能生成
一元二次不等式，是指含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax²+bx+c>0 、ax²+bx+c≠0、ax²+bx+c<0（a不等于0）。
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大纲/内容
等式性质与不等式性质
比较两个实数的大小
作差法
a>ba-b>0;a=ba-b=0;a<ba-b<0
作商法
>1a>b;=1a=b;<1a<b
比较两个代数式的大小
作差
变形
判断差的符号
作出结论
等式的性质
对称性：a=bb=a
传递性：a=b,b=ca=c
可加性：a=bac=bc
可乘性：a=bac=bc
可除性：a=b,c≠0⇒=
不等式的性质
对称性：a>bb<a
传递性：a>b,b>ca>c
可加性：a>ba+c>b+c
可乘性：a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc
同向可加性：a>b,c>da+c>b+d
同向可乘性：a>b>0,c>d>0ac>bd
可乘方性：a>b>0>(nN,n>1)
基本不等式
重要不等式
若a,bR,则+2ab,当且仅当a=b时等号成立
基本不等式
若a>0,b>0,即,当且仅当a=b时等号成立
算数平均数与几何平均数
平方平均数≥算数平均数≥几何平均数，≥≥,当且仅当a=b时等号成立
最值定理
如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2
如果积xy等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值
利用基本不等式求最大（小）值
积定和最小，和定积最大
应用基本不等式求最值需满足”一正二定三相等“
两数都是正数（两数都为负数时可提取负号）
必须有定值（有时需配凑、拆分凑出定值）
两数能够相等
构造定值条件的通常技巧
加项变换
拆项变换
统一换元
平方后利用基本不等式
二次函数与一元二次方程、不等式
一元二次不等式概念
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，例如a+b+c0（其中a,b,c均为常数、a≠0)，叫做一元二次不等式
二次函数的零点
一般地，对于二次函数y=a+b+c,我们把使a+b+c=0的实数叫做二次函数a+b+c的零点
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
一元二次方程的解法步骤
将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式a+b+c>0(a>0)或a+b+c<0(a>0)
求出相应的一元二次方程的根
利用二次函数的图像与轴的交点确定一元二次不等式的解集
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