数列的极限
2023-11-23 15:25:47 0 举报AI智能生成
数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。极限是研究变量变化规律的重要工具。通俗来说，极限就是一个变量变化过程中的趋向值，变量的变化过程就是极限过程。在数列研究中，数列的极限也就是数列中项不断递进的趋向值。
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大纲/内容
自变量取正整数的函数
数列
设{}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式|-a|＜ε都成立，那么就称常数a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛于a，记为 =a或→a（n→∞）
如果不存在这样的常数a，就说数列{]没有极限，或者说数列{}是发散的，习惯上也说不存在
数列极限的定义
如果数列{}收敛，那么它的极限唯一。
极限的唯一性
有界不一定收敛
对于数列{}，如果存在正数M，使得一切都满足不等式||≤M，那么称数列{}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列{}是无界的。
如果数列{}收敛，那么数列{}一定有界。
收敛数列的有界性
如果数列{}从某项起有≥0（或≤0），且=a，那么a≥0（或a≤0）
推论
如果=a，且a＞0（或a＜0），那么存在正整数N，当n＞N时，都有＞0(或＜0）。
收敛数列的保号性
在数列{}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{}中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{}的的子数列（或子列）。
若数列两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散
如果数列{}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也为a。
收敛数列与其子数列间的关系
收敛数列的性质
数列的极限
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