概率论与数理统计思维导图模板_ProcessOn思维导图、流程图

数理统计的基本概念

样本

定义

样本值 / 观察值
为观察值【抽样后】

样本 / 简单随机变量
为n维随机变量【抽样前】

前提条件
相互独立且与总体同分布

样本数字特征性质

Xi 与 X同分布

统计量

定义

不含任何未知数
样本不含任何参数的函数

数字特征

样本均值

样本方差

样本标准差

样本 k 阶原点矩

样本 k 阶中心矩

顺序统计量

结论

正态分布方差

上侧分位点

定义

分布

卡方分布

定义

条件【独立变量必须服从标准正态分布】

自由度为n的卡方分布

性质

期望、方差

可加性

证明

方差

上侧 α 分位点

t 分布

条件

定义

性质

分布具有对称性

F 分布

定义

性质

参数估计

基本概念

点估计

定义

点估计定义
构造一个统计量用来估计总体X分布中含有的未知数

总体未知参数

统计量

无偏性

无偏估计

定义
设为的估计量,若,则称的无偏估计.,称为渐近

结论

样本与总体
的无偏估计

的无偏估计，

估计量均为的无偏估计，则其线性组合任为无偏估计

有效

有两个无偏估计量和，当比更有效

一致

其中依概率收敛于则称其为的一致估计量

估计量/值

估计量
随机变量

估计值
所取的具体值

点估计
估计量的值估计未知参数

估计方法

矩估计

总体矩

一阶原点矩=期望，二中心阶矩=方差

样本矩

均值，和样本方差

关系 / 定义

基于 大数定律 利用 样本矩 估计 总体矩

1) 对于总体的分布含有, 有存在，则显然为关于的函数

2) 则样本k阶原点矩为

最大(极大)似然估计

似然函数

样本取得观察值的概率

离散型

连续型

求解

在未知参数取值范围求，
求函数的最大值点 , 使得值最小，成为最有效估计量

步骤

写出对应函数,取对数【对数求导法】

求出唯一驻点，

区间估计

置信区间

定义

设是总体的未知参数，是来自总体的样本，
对于给定的 , 如果两个统计量满足
则称随机区间为的置信水平(置信度)为的置信区间(区间估计)，
简称为的置信区间，分别成为置信下限和置信上限

假设检验

小概率原理

原假设与备择假设

两类错误

第一类：弃真错误

第二类：取伪错误

计算

拒绝域

正态分布

t 分布

分布

步骤

根据问题提出原假设

构造统计量

求出拒绝域

拒绝原假设成立；否则，接受原假设

随机事件及概率

事件

类型

随机事件

必然事件

不可能事件

事件关系

子事件

子集合关系【吸收律】

子事件

相等

并事件

交事件

差事件

互斥事件

对立事件

事件运算

交换律

结合律

吸收率

分配律

德摩根定理【对偶率】

事件表示

假设表示
设事件A表示为...

表示事件/表示变量
设A某某事件"由i次发生",【条件概率】记某某事件A发生次数为X【概型】

集合表示某事件

概率

公理

非负性

规范性

可列可加性

性质/公式

规范性/非负性

两两互不相容事件可加【可列可加性】

求逆公式【对立事件】

减法公式【差事件】

加法公式【容斥定义】

三事件加法【三容斥】

吸收率

德摩根定律

概率不等式

概率与事件关系

概型

古典概型

定义
有限样本点，且样本点发生可能性相同

公式

推论【N件产品有M件次品，取n件，恰有k件次品概率】

加法/乘法原理

加法即独立方法

乘法即步骤顺序

排列/组和

排列

组合

阶乘

条件概率/乘法公式

定义
已知A发生条件下B发生的概率，记为P(B|A)

公式

常用性质【前提P(B)>0】

[0,1]范围

规范性

求逆

注意: 不是

加法公式【容斥性】

减法公式

如果A,B独立

可列可加性

乘法公式

全概率公式/贝叶斯公式

全概率公式【无数现实之和=真理】

贝叶斯公式【已知结果求路径概率】

结论【抓阄原理】

完备事件组

伯努利概型

定义

n重伯努利实验

事件独立性

定义

独立定义

互斥定义

重要结论

与独立，则与对立，与对立，与，均相互独立

概率为 0 的事件以及概率为 1 的事件与任一事件均相互独立

独立条件下，条件概率只与子事件有关

A,B,C 两两独立

A,B,C 相互独立

设有 n(n>=2) 个随机事件 A1,...,Am ,如果对其中任 k 个，均有

事件独立性标志
"互不干扰"，"互不影响","有放回取球"

独立互斥关系

没有直接联系

独立重复实验

独立重复实验，"第n次实验刚好是事件第k次发生"

一维随机变量及其分布

随机变量

定义

事件表示

分布函数

定义

性质

域 / 规范性

单增

右连续

计算

基本公式

反函数

复合运算

分布函数的线性组合仍为分布函数【系数和为1，保证概率规范性】

分布函数的乘积

密度函数的复合运算

经典错误

离散型随机变量

定义

概率分布 / 分布律

表格形式

公式形式

分布律性质

常见类型

0-1分布

二项分布 Binomial Distribution

泊松分布 Poisson Distribution

泊松定理

条件

推理记忆

级数

期望

高数结论【级数】

几何分布

超几何分布

连续型随机变量

定义

连续性
分布函数不连续的随机变量，一定不是连续性随机变量

概率密度性质

非负性

规范性

概率密度为偶函数

f(x)连续点处

分布函数

概率为0【极限】事件未必为不可能事件，但不可能事件概率必定为0

事件端点不会影响区间概率【注意与离散型随机变量之间的区分】

常见类型

均匀分布 Uniform Distribution

概率密度

分布函数

对称轴

区间概率

指数分布 Exponential Distribution

概率密度

分布函数

证明:

假设分布函数

化简为

求解

无记忆性【区间长度相等概率相同】

正态分布 normal distribution

密度函数

分布函数

性质

标准态分布

概率密度

分布函数

分布函数关于X=0对称

利用标准正态分布求解

概率区间标准化求解

图形性质

对称轴

对称性

离散程度
越小，分布越集中，图越高越瘦，反之越分散，又矮又胖

标准正态

即位于U_α 右侧概率面积为 α

复合变量【原理：方差和均值公式】

高数结论

随机变量函数分布

离散型

利用分布律求解

连续型

公式法

定义法

通用型

分布函数的线性组合仍为分布函数【系数和为1，保证概率规范性】

分布函数的乘积

密度函数的复合运算

常见题型

练习

分布函数/概率密度基本概念

分布中待定参数求解

一维连续型随机变量

常见分布

函数的分布

真题

多维随机变量及其分布

定义

n 维随机向量

【(X,Y)的联合分布函数】

边缘分布

条件分布

性质

边界 / 规范性

单调性

右连续

面积差分公式

离散型随机变量

概率(联合)分布律

性质

书写格式

矩阵法

枚举法

边缘分布律

性质

条件分布律

连续性随机变量

联合分布函数

联合概率密度

非负性

规范性

连续点处概率密度 = 分布函数二阶混合偏导

计算

设 D 为 xOy 平面区域，则点 (X,Y) 落在点 D 内的概率

边缘密度函数

求X边缘密度，把X=x，对于的 y 积分成一根线的密度

求Y边缘密度，把Y=y，对于的 x 积分成一根线的密度

条件概率密度

性质

非负性

规范性

随机变量独立性

离散型随机变量的独立性

任意两行（列）元素成比列——独立

若其中有零，则一定不独立

连续型变量的独立性

f(x,y)=fx(X)*fy(Y)

在平面中除了面积为0的集合外，处处独立

子主题

联合密度函数独立性

判定

可分解，是矩形

结论

判断

求出对应X,Y的边缘分布，再通过定义【充要条件】，进行判断

二维均匀分布

概率密度

二维正态分布

公式不需要记，但是要知道其对应的期望/方差性质

正态分布

（X，Y）的正态分布性质

（X,Y）二维正态则X,Y均正态

(X,Y) 正态，当,则 (aX+bY,cX+dY) 也正态

(X,Y) 正态，对任意常数 a 与 b, 时，aX+bY 必正态

X,Y均正态且独立，则

简单函数分布

二维离散型

泊松分布

二项分布

二维连续型

分布函数法

分布函数

概率密度

公式法

当 X,Y 独立时

独立同分布

多维独立随机变量

X,Y 独立同分布时

指数独立同分布 X,Y ~ E(λ)

多维独立随机变量

指数分布

X 和 Y 相互独立时【卷积公式】

正态分布

随机变量相互独立

数字特征

数学期望

定义

离散型随机变量期望

连续型随机变量期望

函数期望

连续性随机变量函数的数学期望定理

定理1

定理2

离散型随机变量函数的数学期望

sp：

sp: ;

性质

常用分布的数学期望

0-1分布，X~b（1，p）——E(X)=P

二项分布X~b(n.p)——E(X)=np

泊松分布X~b(λ）——E(X)=λ

均匀分布X~U(a，b）——E(X)=(a+b)/2

指数分布X~e(λ）——E(X)=1/λ

方差

定义

定义【前提D(X)存在】

计算公式

推理记忆
1. E(X) 是一个数
2. 利用期望线性运算

随机变量平方的期望=原方差+原期望的平方

性质

常数方差为 0,D(x)大小放映x取值的稳定性，其越小越稳定，波动性越小。

协方差

随机变量 X,Y 独立

常见分布的期望/方差

离散型随机变量

0-1分布

公式

证明

二项分布

证明

二项式定理

泊松分布

期望公式

证明

级数公式

方差公式

E(X^2)

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

连续型随机变量

均匀分布

E(X^2)

指数分布

期望公式

证明

方差公式

正态分布

期望公式

证明

方差公式

证明

性质

标准正态分布随机变量关系

独立正态的线性组合仍时正态分布【μ和σ^2同时线性组合】

正态分布

定义

随机变量函数

求解期望

求解方差

求解协方差

协方差

定义

利用期望求解

证明

利用相关系数/方差求解

性质