向量空间的定义与简单性质

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向量空间是一个数学概念，它由一群向量和一组特定运算（通常为加法和数乘）构成。在这样一个空间中，向量可以相加，也可以与标量相乘。通常，向量空间被定义为一个向量的集合V，以及两个运算“+”和“·”，满足以下八个公理：闭合性、结合性、交换性、单位元存在性、逆元存在性、加法分配律、数乘分配律以及乘法结合律。向量空间可以用于研究线性代数、解析几何、微积分等领域的问题。

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大纲/内容

6.1 向量空间的定义与简单性质

引入

对象：非空集合V，一个确定的数域F

有两种运算：加法、数量乘法

有八条规则

向量空间的简单性质

零元素是唯一的

负元素是唯一的

0a = O ; aO = O

如果aα=0，那么a=0或α=0

（-a）α=a（-α）=-aα

6.2 子空间

定义

令W是数域 F 上向量空间 V 的一个非空子集，如果 W对于 V中所定义的加法和数量乘法两种
运算也构成数域 F上的向量空间，则称W是 V的一个子空间

非空子集构成子空间的条件

W中的向量满足向量空间定
向量空间定义中的八条规则

子空间的交与和

子空间的交

定义

设 W1 , W2是向量空间 V的两个子空间, 称
W1 ∩ W2 ={ α | α ∈ W1 且 α ∈ W2 }为 W1, W2 的交

性质

如果W1, W2是向量空间 V的两个子空间
那么它们的交 W1∩ W2 也是 V的子空间

子空间的和

定义

W1 + W2 = {α | α = α1 + α2 , α1 ∈ W1 , α2 ∈ W2 }

性质

如果W1, W2是向量空间 V的两个子空间
那么它们的和 W1+ W2 也是 V的子空间

运算规律

满足交换律和结合律

子空间的交与和的性质

设 W1, W2 , W 都是V的子空间，那么

（1）若W⊆W1与 W⊆W2 则 W⊆W1∩ W2

（2）若 W1⊆W 与 W2⊆W 则 W1+ W2 ⊆W

对于子空间 W1, W2，以下三个论断是等价的

W1 ⊆W2

W1∩ W2= W1

W1+ W2 = W2

补充

在向量空间V中，由单个的零向量所组成
的子集合是一个子空间，它叫做零空间

向量空间 V本身也是 V的一个子空间

Fn[ x] 是向量空间 F[ x ] 的子空间

F2n是Fn的子空间

数域 F 上向量空间 V 的一个非空子集W是V的一个子空间
当且仅当任意的 α , β ∈ W, k, l ∈F, 都有 kα +lβ ∈ W

6.3 向量的线性相关性

线性组合与线性表示

α= k1α1 + k2α2 + …+ krαr
称向量α为向量组α1 , α2 , …, αr 的一个线性组合
称向量α可以用向量组α1 , α2 , …, αr线性表示

向量组{α1 , α2 , …, αr}中每一个向量αi都可以由这一组向量组线性表示

具有传递性

如果向量γ可由向量组β1 , β2 , …, βr线性表示，而每一个βi又可由
向量组α1 , α2 , …, αs线性表示，则γ可由向量组α1 , α2 , …, αs线性表示

线性相关与线性无关

α1,α2,...,αr,是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数α1,α2,...,αr,
使得a1α1,+a2α2+.....+ar αr=0,那么就说α1,α2,...,αr,线性相关

对于单个向量α

当α=0，{α }线性相关

当α0，{α }线性相关

线性相关性的性质

等价说法

部分相关

整体无关

(α1 α2 ... , αs)线性无关，(α1 α2 ... , αs，β)线性相关
那么β一定可以由α1 α2 ... , αs线性表示，而且表示法唯一

α1 α2 ... , αs线性相关，当且仅当其中某一个向量是其余向量的线性组合。

等价与极大无关组

等价的概念

如果每个αi 都可以用β1 , β2 , …, βs 线性表示,
每个βi 都可以用α1，α2.......αs线性表示，
则称这两个向量组等价

等价的性质

自反性

(1)~(1)

对称性

（1）~（2）则（2）~（1）

传递性

（1）~（2），（2）~（3）则（1）~（3）

替换定理

如果α1，α2.......αr线性无关，且可以被β1 , β2 , …, βs线性表示，
那么r≤s，（β1 , β2 , …, βs，βr+1 , βr+2 , βs）~（α1，α2.......αr，βr+1 , βr+2 , βs）

极大无关组的定义

（α1，α2.......αn）的部分向量组（αi1，αi2.......αir）叫做一个极大无关组。

如果α1，α2.......αr线性无关，则其极大无关组是本身

求向量组的极大无关组

矩阵的初等变换法

初等行变换为行阶梯形矩阵，首个非令数对于的向量组为极大无关组。

补充

一个零向量是线性相关
只有零向量的向量组没有极大无关组

一个非零向量是现象无关
含非零向量的向量组必有极大无关组

如果（α1，α2.......αn）的极大向量组是（αi1，αi2.......αir），则（α1，α2.......αn）~（αi1，αi2.......αir）

向量组的极大无关组不唯一

向量组的极大无关组所含的向量不一定是唯一的

一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量

若等价的向量组含的向量个数相同，则他们的相关性一致

6.4 基与维数

生成元和生成子空间

子空间的定义

设α1....αn是向量空间V中一组向量，{k1α1 + k2α2...knαn| ki∈F｝是V的一个子空间。
称为由α1 , α2 , … , αn生成的子空间，记为L（α1，α2，...，αn）

子空间的性质

αi∈L（α1，α2，...，αr）

设W是V的一个字空间，且α1，α2，...，αr∈W，则L（α1，α2，...，αr）⊆W

设V是一个向量空间且｛α1，α2，...，αr｝⊆｛β1,β2,…,βs}⊆V，则L｛α1，α2，...，αr｝⊆L｛β1,β2,…,βs}⊆V

L（α1，α2，...，αr）＝（β1，β2，…，βs）充分必要｛α1，α2，...，αr｝~｛β1，β2，…，βs}

注1 对于子空间，包含生成元，则包含生成子空间

注2 L(α1，α2，...，αr)是包含α1，α2，...，αr的最小的子空间。

设 {α1，α2，...，αn} 是向量空间V的一组不全
为零的向量组，{αi1，αi2，...，αir} 是它的一组极大无关
组，则 L (αi1，αi2，...，αir ) = L (α1，α2，...，αn)

向量空间的基和维数

向量空间的基和维数的定义

设V 是数域F上的一个向量空间，V中满足以
下条件的向量组{α1，α2，...，αn} 称为 V 的一组基

向量空间基的存在性

1) {O}—零空间，{O} 线性相关，零空间不存在基；
2) V—非零空间，任意非零空间都存在基。

空间向量基的性质

向量空间V的基是不唯一的。

一个向量空间的任意两个基所含向量个数相等。

若α1，α2，...，αn是向量空间V的一个基，则V
中每一个向量都可以唯一地由α1，α2，...，αn的线性表示

n 维向量空间中任意多于n 个向量一定线性相关。

设W是 n 维向量空间 V的一个子空间，则dim(W) ≤ dim(V)

设 α1，α2，...，αr是 n 维向量空间 V 的一组线性无
关的向量，那么总可以添加 n - r 个向量αr+1，αr+2，...，αn ，使
得 α1，α2，...，αn是 V 的一组基 .

已知 α1，α2，...，αn是向量空间V 的一个基，
向量组α1，α2，...，αn ~ β1，β2，…，βn ，
则 β1 , β2 , … , βn也是 V 的一个基

n 维向量空间 V ，如果每一个向量都可以由α1，α2，...，αn线性表示，则 α1，α2，...，αn是 V 的一个基 .

一个向量空间V的基所含向量个数叫做V的维数，记为dimV

dim(F m × n)=m × n。

子空间的交与和的维数

维数公式：dim(W1 + W2 ) = dim(W1) + dim(W2)- dim(W1 ∩ W2 )

推论：如果 n 维线性空间 V 中两个子空间 W1, W2 ,
dim(W1) + dim(W2) >n , 那么W1 ∩ W2 ≠ {O}

子空间的直和

定义

设 W 是线性空间 V 的子空间. V 的子空间W' 叫做W的余子空间，如果
1) V=W+W'
2) W∩W' = {O｝
此时，就称V是W与W'的直和，记为 V=W  W' .

性质

设向量空间 V=W  W'，那么V中每一
个向量  都可以唯一地表成
α=β + β' ， β∈W， β' ∈W'

余子空间的存在性

n 维向量空间 V 的任一个子空间 W 都有余子空间，如果W' 为W的余子空间，则dim( V ) = dim(W ) + dim(W' ) .

余子空间的不唯一性

直和的充分必要条件

已知 V = V1 + V2 ，则V = V1  V2 充分必要条件是
如果 α1 + α2 = O， α1 ∈ V1 , α2 ∈V2 , 则 α1 = α2 = O

零元分解唯一

已知 V = V1 + V2 ，则V = V1  V2
的充分必要条件为dim( V ) = dim( V1 ) + dim( V2 )

6.5 坐标

向量的坐标

定义

在F上 n 维线性空间 V 中，设{α1，α2，...，αn}
为 V 的一组基. 则V 中任一向量 ∑ 可以唯一地表成
∑ = x1α1 + x2α2 + … + xnαn ,
(x1, x2, … , xn ) 就称为 ∑ 关于基 {α1 , α2 , …, αn}的坐标。取定V 的一组基后，向量 ∑的坐标是唯一的

坐标变换公式

性质

设基{α1，α2，...，αn}到基{β1 , β2 , … , βn}的过渡矩
阵是A,基{β1 , β2 , … , βn}到基{γ1, γ 2,…, γ n}的过渡矩阵
是B, 则基{α1，α2，...，αn}到基{γ1, γ 2,…, γ n}的过渡矩阵
是AB.

假设基{α1，α2，...，αn}到{β1 , β2 , … , βn}的
过渡矩阵是A，则
（1）A是可逆矩阵
（2）{α1，α2，...，αn}到{β1 , β2 , … , βn｝的过渡矩阵是A-1

6.6 向量空间的同构

定义

1) f 是一个一一映射（双射）
2) f (∑ +η) =f(∑ ) + f(η）保持加法
3) f (k∑ ) = kf (∑ ) 保持数乘

性质

数域 F 上任一个 n 维向量空间都与 Fn 同构

自身性 V ≌ V
对称性 V ≌ W 则 W ≌ V
传递性 V1 ≌ V2，V2 ≌ V3 ，则 V1 ≌ V3

同构的充分必要条件

假设 f 向量空间 V 到 W 的一个同构映射，则