向量空间的定义与简单性质
2024-11-12 16:56:57 0 举报AI智能生成
向量空间是一个数学概念，它由一群向量和一组特定运算（通常为加法和数乘）构成。在这样一个空间中，向量可以相加，也可以与标量相乘。通常，向量空间被定义为一个向量的集合V，以及两个运算“+”和“·”，满足以下八个公理：闭合性、结合性、交换性、单位元存在性、逆元存在性、加法分配律、数乘分配律以及乘法结合律。向量空间可以用于研究线性代数、解析几何、微积分等领域的问题。
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大纲/内容
第六章 向量空间
对象：非空集合V，一个确定的数域F
有两种运算：加法、数量乘法
有八条规则
α，β，γ表示向量空间中的元素a，b，c表示数域F中的数
引入
零元素是唯一的
负元素是唯一的
0a = O ; aO = O
如果aα=0，那么a=0或α=0
（-a）α=a（-α）=-aα
向量空间的简单性质
6.1 向量空间的定义与简单性质
令W是数域 F 上向量空间 V 的一个非空子集，如果 W对于 V中所定义的加法和数量乘法两种运算也构成数域 F上的向量空间，则称W是 V的一个子空间
定义
W中的向量满足向量空间定向量空间定义中的八条规则
非空子集构成子空间的条件
主要条件：(1) W 对加法运算封闭 (2) W 对数量乘法运算封闭
性质
子空间的交
注意：W1∪W2不一定是V的子空间！
满足交换律和结合律
运算规律
子空间的和
（1）若W⊆W1与 W⊆W2 则 W⊆W1∩ W2
（2）若 W1⊆W 与 W2⊆W 则 W1+ W2 ⊆W
W1 ∩ W2是含于W1和 W2 的最大的子空间
W1 +W2是包含W1和 W2 的最小的子空间
W1 ⊆W2
W1∩ W2= W1
W1+ W2 = W2
子空间的交与和的性质
子空间的交与和
在向量空间V中，由单个的零向量所组成的子集合是一个子空间，它叫做零空间
向量空间 V本身也是 V的一个子空间
Fn[ x] 是向量空间 F[ x ] 的子空间
F2n是Fn的子空间
补充
Fn[x]是次数≤n的多项式+0
6.2 子空间
具有传递性
线性组合与线性表示
注: 零向量是任何一组向量的线性组合
当α=0，{α }线性相关
当α0，{α }线性相关
对于单个向量α
部分相关
整体无关
等价说法
线性相关性的性质
线性相关与线性无关
等价的概念
等价的向量组所含向量个数可能不等
(1)~(1)
自反性
（1）~（2）则（2）~（1）
对称性
（1）~（2），（2）~（3）则（1）~（3）
传递性
等价的性质
替换定理
（α1，α2.......αn）的部分向量组（αi1，αi2.......αir）叫做一个极大无关组。
如果α1，α2.......αr线性无关，则其极大无关组是本身
极大无关组的定义
初等行变换为行阶梯形矩阵，首个非令数对于的向量组为极大无关组。
矩阵的初等变换法
求向量组的极大无关组
一个零向量是线性相关只有零向量的向量组没有极大无关组
一个非零向量是现象无关含非零向量的向量组必有极大无关组
如果（α1，α2.......αn）的极大向量组是（αi1，αi2.......αir），则（α1，α2.......αn）~（αi1，αi2.......αir）
向量组的极大无关组不唯一
向量组的极大无关组所含的向量不一定是唯一的
一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量
若等价的向量组含的向量个数相同，则他们的相关性一致
等价与极大无关组
6.3 向量的线性相关性
子空间的定义
αn为该子空间的生成元
αi∈L（α1，α2，...，αr）
设W是V的一个字空间，且α1，α2，...，αr∈W，则L（α1，α2，...，αr）⊆W
L（α1，α2，...，αr）＝（β1，β2，…，βs）充分必要｛α1，α2，...，αr｝~｛β1，β2，…，βs}
注1 对于子空间，包含生成元，则包含生成子空间
注2 L(α1，α2，...，αr)是包含α1，α2，...，αr的最小的子空间。
设 {α1，α2，...，αn} 是向量空间V的一组不全为零的向量组，{αi1，αi2，...，αir} 是它的一组极大无关组，则 L (αi1，αi2，...，αir ) = L (α1，α2，...，αn)
子空间的性质
生成元和生成子空间
设V 是数域F上的一个向量空间，V中满足以下条件的向量组{α1，α2，...，αn} 称为 V 的一组基
向量空间的基和维数的定义
基＝无关+唯一
1) {O}—零空间，{O} 线性相关， 零空间不存在基；2) V—非零空间，任意非零空间都存在基。
向量空间基的存在性
向量空间V的基是不唯一的。
一个向量空间的任意两个基所含向量个数相等。
若α1，α2，...，αn是向量空间V的一个基，则V中每一个向量都可以唯一地由α1，α2，...，αn的线性表示
n 维向量空间中任意多于n 个向量一定线性相关。
设W是 n 维向量空间 V的一个子空间，则dim(W) ≤ dim(V)
设 α1，α2，...，αr是 n 维向量空间 V 的一组线性无关的向量，那么总可以添加 n - r 个向量αr+1，αr+2，...，αn ，使得 α1，α2，...，αn是 V 的一组基 .
n 维向量空间 V ，如果每一个向量都可以由α1，α2，...，αn线性表示，则 α1，α2，...，αn是 V 的一个基 .
空间向量基的性质
基＝表示+唯一
基=无关+维数
基＝表示+维数
基＝与基等价+维数
dim(F m × n)=m × n。
一个向量空间V的基所含向量个数叫做V的维数，记为dimV
向量空间的基和维数
维数公式 ：dim(W1 + W2 ) = dim(W1) + dim(W2)- dim(W1 ∩ W2 )
子空间的交与和的维数
可以看出，和的维数往往要比维数的和来得小
设 W 是线性空间 V 的子空间. V 的子空间W' 叫做W的余子空间，如果1) V=W+W'2) W∩W' = {O｝此时，就称V是W与W'的直和，记为 V=W W' .
设向量空间 V=W W'，那么V中每一个向量 都可以唯一地表成α=β + β' ， β∈W， β' ∈W'
n 维向量空间 V 的任一个子空间 W 都有余子空间，如果W' 为W的余子空间，则dim( V ) = dim(W ) + dim(W' ) .
余子空间的存在性
余子空间的不唯一性
零元分解唯一
已知 V = V1 + V2 ，则V = V1 V2的充分必要条件为dim( V ) = dim( V1 ) + dim( V2 )
直和的充分必要条件
子空间的直和
6.4 基与维数
向量的坐标
坐标变换公式
反之，任意一个n阶可逆矩阵都可以作为n维向量空间中某两个基的过渡矩阵
6.5 坐标
1) f 是一个一一映射（双射）2) f (∑ +η) =f(∑ ) + f(η）保持加法3) f (k∑ ) = kf (∑ ) 保持数乘
满足这些条件，则称W与V同构
数域 F 上任一个 n 维向量空间都与 Fn 同构
自身性 V ≌ V对称性 V ≌ W 则 W ≌ V传递性 V1 ≌ V2，V2 ≌ V3 ，则 V1 ≌ V3
保零元，保负元：f (O) = O f (- α) = - f (α )
保线性组合： f (k1α1+ k2α2 + … + knαn )= k1f (α1) + k2f (α2) + … + knf (αn)
保维数：V ≌ W→dim(W)=dim(V）
设 f ： V → W 是一个同构映射，则f -1 ： W → V 也是同构映射。
假设 f 向量空间 V 到 W 的一个同构映射，则
同构的充分必要条件
6.6 向量空间的同构
左乘可逆矩阵，行空间不变！右乘可逆矩阵，列空间不变！（左行右列）
矩阵的行空间和列空间
一个矩阵的行空间的维数=列空间的维数=矩阵的秩=行向量组的极大无关组所含向量的个数=列向量组的极大无关组所含向量的个数.
矩阵的秩
线性方程组有解 当且仅当 r(A)=r(Ā）
方程组有解的条件
AX=0
形式
若α1 ，α2是AX=O的解，则 α1 +α2 也是AX=O的解（加法封闭）
若α是AX=O的一个解，k为实数，则α 也是AX=O的一个解.（数乘封闭）
解空间的维数== η 的个数 = t 的个数= n-r(A）
齐次线性方程组解的结构
AX=β
若α1 ，α2是AX=β的解，则α1 +α2 不是AX=β的解
若α是AX=β的一个解，k为任意实数，则kα不是AX=β的一个解
S 不是Fn的一个子空间
非齐次线性方程组解的结构
6.7 矩阵的秩与齐次线性方程组的解空间
定义法判别向量组的线性相关性
D≠0（仅有零解）
转换成齐次线性方程组
D=0（有非零解）
线性相关
线性无关
用矩阵的秩判别Fn上向量组的线性相关性
矩阵的秩判别Fn上向量组的线性相关性
r（A）=S线性无关
r（A）＜S，线性相关
S=向量个数
整体相关
部分无关
1，2适合未知维数。3，4，4适合已知维数
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