七年级上册数学（人民教育出版社）2024版
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数学知识点的汇集，一张图就够了
作者其他创作
大纲/内容
第一章 有理数
1.1 正数和负数
知识梳理
定义
正数
大于0的数
“+”是正号，读作正
负数
小于0的树，在正数前加上符号“—”
“—”是负号，读作负
0
既不属于正数，也不属于负数
应用
海拔高度
0m表示海平面的海拔
正数表示高于海平面的海拔
负数表示低于海平面的海拔
考点
给出数，辨认正数、负数
定义出正负数，然后给出一个数，判定表示的意义
给一段描述，用正负数来表示题目的要求
阅读与思考：用正负数表示允许偏差
在某个范围内不影响使用就是合格品，允许偏差
1.2 有理数及其大小比较
1.2.1 有理数的概念
知识梳理
整数
正整数
负整数
0
分数
正分数
负分数
概念
可以写成分数形式的数叫做有理数（rational number）
分类
正有理数
可以写成正分数形式的数
负有理数
可以写成负分数形式的数
考点
给出一些数字，区分整数、分数、正有理数、负有理数
1.2.2 数轴
知识梳理
在一条直线上任取一个点O为基准点，规定一个单位长度代表1m长，再用0表示点O，用负数表示点O左侧的点，用正数表示点O邮编的点，这样就表示出了这条直线上的点。
三个条件
在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）
通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向
选取适当的长度为单位长度，从原点向左、向右每隔一个单位长度取点，定义为1（-1）、2（-2）……
定义
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴（number axis）
正半轴与负半轴
原点将数轴分成了两部分，正方向的一侧叫做数轴的正半轴，负方向的一侧叫做数轴的负半轴
有理数可以用数轴上的点表示
考点
给出数轴上的点，写出这些点代表的数
给出数，需要画数轴，在数轴上标出这些数
给出一个数轴，问他们之间存在多少整数、正整数、负整数等
在数轴上给出一个点，沿数轴的某个方向移动一段距离，问移动后的数是多少
1.2.3 相反数
知识梳理
设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在正、负半轴上，表示a和-a，这两个数只有符号不同。
定义
只有符号不同的两个数，互为相反数（opposite number）
0的相反数是0
在正数的前面添上“—”号，就得到了这个正数的相反数；在任意一个数的前面添上“—”号，新的数就表示原数的相反数
考点
判断给出的数字是不是相反数
任何一个数都有相反数？
正数和负数互为相反数？
写出给出数字的相反数
利用数轴来表示相反数
化简数字（例如：-（-7）。-（+0.5）；）
1.2.4 绝对值
知识梳理
定义
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value）
|a|；|0|=0
定理
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0
表示方法
a＞0，那么|a|=a
a=0.那么|a|=0
a＜0，那么|a|=-a
推理结果
一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点距离原点越近
数轴上的点距离原点越近，它所表示的数的绝对值越小
考点
给出数字，写出绝对值
判断绝对值的定义
给出一个数的绝对值，写出原数，给出一个字母，做字母的定义，然后给出绝对值，请写出原数是多少
化简数字
+|—3.5|
1.2.5 有理数的大小比较
知识梳理
数轴上的表示
数轴上的点从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，左边的数小于右边的数
推论
正数大于0,0大于负数，正数大于负数
两个负数，绝对值大的反而小
考点
比较数字的大小
排序
先化简，再比较大小或者排序
图说数学史 漫漫长路识负数
公元1世纪——《九章算术》“方程”章明确提出了正负术：正数，负数的加减运算法则
公元3世纪——魏晋时期刘徽作《九章算术注》，明确正负数是表示相反意义的量，并用算筹的颜色区分正负数
公元7世纪——印度数学家婆罗摩笈多在算数运算中使用了负数，研究了关于“财产”，“债务”的河、差、倍数、分割等问题。
公元12-13世纪——意大利数学家斐波那契在《算盘书》中面对“一个相对较小的数减去一个更大的数”时使用了负数
公元16-17世纪——笛卡尔使用负数，但不理解负数，所以把方程的负根称作“假根”
公元19世纪——负数的质疑消失了，完全成为了数字系统中的一员
数学活动
体重调查
猜数游戏
小结
本章知识结构图
回顾与思考
梳理已学的数，数的范围扩大了几次？每次扩大数的范围时，引入一类新的数的原因是什么？
你能举出一些实例，说明正数、负数在表示具有相反意义的量时的作用吗？
你能用一个图表示有理数的分类吗？
数轴与普通的直线有什么不同？怎样在数轴上表示有理数？怎样利用数轴解释一个数的相反数和绝对值？
如何比较有理数的大小？数轴能发挥怎样的作用？
回忆小学学过的与数有关的内容，想一想接下来应该继续研究哪些与有理数有关的问题。
第二章 有理数的运算
2.1 有理数的加法与减法
2.1.1 有理数的加法
运算法则
知识梳理
法则
同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和
绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差。互为相反数的两个数相加得0
一个数与0相加，仍得这个数
两个有理数相加，和是一个有理数
在运算过程中，先定和的符号，再算和的绝对值
考点
用算式表示有理数的加法
口算
笔算
用生活实例解释有理数加法的意义
运算律
知识点梳理
加法的运算律
加法交换律
两个数相加，交换加数的位置，和不变
a+b=b+a
加法结合律
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
（a+b）+c=a+（b+c）
多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加。
考点
计算
解应用题
2.1.2 有理数的减法
运算法则
知识梳理
减法是加法的逆运算
法则
减去一个数，等于加这个数的相反数
a-b=a+(-b)
两个有理数相减，差是一个有理数
考点
计算
解应用题
有理数的加减混台运算
知识梳理
加减混合运算可以统一为加法运算
a+b-C=a+b+（-C）
考点
计算
把式子改写成省略括号和加号的形式，再计算
阅读与思考：我国古代的正负数加减运算法则——正负术
2.2 有理数的乘法与除法
2.2.1 有理数的乘法
知识梳理
正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘负数，积为正数；负数乘正数，积也为负数。
积的绝对值等于乘数的绝对值的积
法则
两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积
（+a）＊（+b）=+（aⅹb）
（-α）ⅹ（-b）=+（axb）
（一a）ⅹ（+b）=_（axb）
（+α）✖️（-b）=-（a✖️b）
任何数与0相乘，都得0
c*0=0，0*c=0
两个有理数相乘，积是一个有理数
乖积是l的两个数互为倒数
运算率
乘法交换律
在有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变
ab=ba
乘法结合律
在有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变
（ab）c=α（bc）
分配律
在有理数中，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加
a（b+c）=ab+ac
计算方法
几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数为奇数时，积为负数。
几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0。
先确定积的符号，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值
考点
计算
应用题
写出倒数
2.2.2 有理数的除法
知识梳理
除法是乘法的逆运算
法则
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数
a÷b=ax1/b（b≠0）
两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。
0除以任何一个不等于0的数，都得0。
两个有理数相除（除数不为0），商是一个有理数。
有理数就是p/q（p，q是整数，q≠0）的数。
乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
先乘除，后加减
考点
计算
化简
用计算器计算
探究与发现
从数系扩充看有理数乘法法则
正有理数，0统称非负有理数
如果a+b=0，那么a=-b
2.3 有理数的乘方
2.3.1 乘方
知识梳理
原理
相同乘数的乘法
写作/读作
n个相同的乘数α相乘，记作a的n次方
定义
求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方
乘方的结果叫作幂（power）
α叫作底数，n叫作指数
一个数可以看作这个数本身的1次方，指数1通常省略不写
计算法则
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
正数的任何次幂都是正数
0的任何正整数次幂都是0
运算顺序
先乘方，再乘除，最后加减
同级运算，从左到右进行
如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
考点
指出底数和指数
计算
用计算器计算
2.3.2 科学计数法
知识梳理
10的n次幂等于10…0(在1的后面有n个0)
把一个大于10的数表示成ax10的n次方的形式(其中a大于或等于1，且a小于10，n是正整数)，使用的是科学计数法
对于小于-10的数也可以用科学计数法表示
考点
用科学计数法表示数字
提供科学计数法表示的数字，写出原数
应用题计算后用科学计数法表示
2.3.3 近似数
知识梳理
approximate number
精确度
近似数与准确数的按近程度
精确到XX位
考点
取近似数
四舍五入法
舍一法
数学活动
整理家庭收支账目
填幻方
小结
本章知识结构图
回顾与思考
1.举例说明如何借助绝对值，把与负数有关的运算转化为正数之间的运算。
2.数轴可以帮助我们直观理解有理数的加法、减法运算，请举例说明
3.数系的扩充给数的运算带来了新的变化。例如，对于减法，在引进负数之前，被减数不能小于减数，而在有理数范围内，任意两个有理数总能进行减法运算，对于有理数的除法，你有什么体会？
4.有理数的加法与减法，乘法与除法各有什么关系？有理数的混合运算都能转化为加法与乘法运算吗？
5.有理数有哪些运算率？结合例子说明运算率在有理数运算中的作用
6.什么是有理数的乘方？对于有理数的混合运算，应按什么顺序进行？
7.学习了有理数的运算，可以进一步认识有理数。谈谈对有理数的理解。
8.联系第一章有理数的学习，请你梳理从非负有理数系扩充到有理数系的过程，并谈谈对数系扩充的认识。
第三章 代数式
3.1 列代数式表示数量关系
知识梳理
在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将数放在字母前面，乘号写作.或作省略
相同字母相乘，可以写成幂的形式
代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子（algebraic expression）
运算包括加、减、乘、除、乘方、开方。
单独的一个数或字母也是代数式
列代数式
用代数式把数量或数量关系简明地表示出来
正比例关系
反比例关系
两个相关联的量，一个量变化，另一量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系
K=xy，k≠0
考点
写出代数式
代数式的意义
解读代数式
列代数式
厘清反比例关系的涵义
解应用题
阅读与思考 数字1与字母X的对话
3.2 代数式的值
知识梳理
定义
用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值
公式
s=vt
s=ab
s=1/2ab
考点
求代数式的值
先列代数式，再求值
公式的运用
数学活动
拼图小游戏
密码中的数学
小结
知识结构图
回顾与思考
1.代数式可以简明地表示某些数量和数量关系，你能举例说明吗?
2.同一个代数式可以表子不同实际问题中的🐜或数量关系，举例说明
3.用代数式表数量关系时，关键要弄清楚数量的意义及相互关系，对此你有什么体会？
4.两个相关联的量何时满足反比例关系，举例说明
5.在解决具体问题时，往往需要求代数式的值，求值时要注意运算符号与运算顺序，举例说明
第四章 整式的加减
4.1 整式
知识梳理
概念
单项式
代数式都是数或字母的积
monomia
单独的一个数或一个字母也是单项式
系数
单项式中的数字因数
数字+字母，数写在前面
单项式的系数是1或-1，通常省略1不写
次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数
n次单项式
一个单项式的次数是n，那么这个单项式被称为n次单项式
一个非零的数，次数规定为0
多项式
几个单项式的和
polynomial
项
多项式中的每一个单项式
常数项
不含字母的项
多项式的次数
多项式里，次数最高的项的次数
整式
多项式与单项式的统称
考点
写出系数和次数
写代数式，再写系数和次数
运用公式列代数式
区分单项式与多项式
找出项和次数
4.2 整式的加法与减法
知识梳理
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项
常数项是同类项
合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变
去括号
用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。
运算法则
几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项
考点
整式化简
合并同类项
去括号计算
先化简，再求值
应用
信息技术应用 用电子表格进行数据计算
数学活动
月历中的奥秘
自然数被3整除的规律
小结
知识结构图
回顾与思考
1.举出一些用单测式、多项式表示数量关系的实际例子，并指出其中的单项式的系数和次数，以及多项式的项和次数。
2.合并同类项和去括号是整式加减的基础，合并同类项和去括号的依据是什么？请举例说明
3.整式的加减运算法则是什么？请举例说明
第五章 一元一次方程
5.1 方程
5.1.1从算式到方程
知识梳理
方程
先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫做方程（aquation）
实际问题：设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系——方程
方程的解
使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解（solution）
一元一次方程
方程中只合有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程（linearequation）
考点
列方程解决实际问题
判断某个值是不是方程的解
辨别一元一次方程
5.1.2等式的性质
知识梳理
等式的基本事实
等式两边可以交换，如果a=b，那么b=α
相等关系可以传递，如果a=b，b=C，那么a=c
等式的性质
等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等(如果α=b，那么a±c=b±c)
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等(如果a=b，那么ac=bc；如果α=b，c≠0，那么α/c=b/c)
解方程及检验
考点
利用等式的性质解方程
5.2 解一元一次方程
知识梳理
各部分的和=总量
根据等式的性质解一元一次方程时，得到的x=m就是方程的解
表示同一个量的两个不同的式子相等
移项
把等式一边的某项变号后移多到另一边
解一元一次方程的步骤
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
考点
解方程
列方程后求解
探究与发现 无限循环小数化分数
5.3 实际问题与一元一次方程
知识梳理
配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据
把总工作量看作1，并利用总工作量=人均效率x人数x时间的关系考虑问题
过程
问题——设未知数，列方程——解方程——检验
销售盈亏问题
球赛积分表问题
不同能效空调的综合费用比较
考点
应用解决实际问题
阅读与思考 初步认识数学模型
数学活动
生活中的阶梯计价问题
木杆挂重物问题
小结
知识结构图
回顾摁思考
1.举例说明方程与等式之间的关系以及一元一次方程的特征
2.回顾等式的性质，说明解方程和等式的性质之间有什么关系
3.回顾一元一次方程的一般步骤，结合例子体会：解关于x的一元一次方程，就是运用等式的性质和运算律，根据方程的具体特点，通过灵活变形将方程逐步化简，最后变为x=m(常数)的形式而得解
4.举例说明用字母表示数，列代数式和列方程的区别和联系
5.在用方程解决实际问题的过程中，要特别关注从实际问题中分析出相等关系，进而把实际问题转化为方程问题，你能举例对此加以说明吗？
6.请收集一些重要问题的有关数据，经过分析后提出可以利用一元一次方程解决的问题，并正确地表述问题及其解决过程
第六章 几何图形初步
6.1 几何图形
6.1.1立体图形与平面图形
知识梳理
几何图形
数学研究的主要对象之一
geometric figure
立体图形
有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形
长方体，正方体，圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥
平面图形
有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形
线段，角，三角形，长方形，圆
展开图
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应图形的展开图
考点
几何研究物体的哪些性质
找出立体图形中的平面图形
从不同角度看物体形状
立体图与展开图连线
6.1.2 点、线、面、体
知识梳理
几何体
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体
简称体
面
包围着体的是面
平面
曲面
线
面和面相交的地方形成线
直线
曲线
点
线和线相交的地方就是点
点动成线，线动成面，面动成体
点是构成图形的基本元素
考点
分辨平面和曲面
线运动后形成什么样的面
面运动后形成什么样的体
图说数学史 几何的起源
6.2 直线、射线、线段
6.2.1直线、射线、线段
知识梳理
经过两点有一条直线，并且只有一条直线
两点确定一条直线
一个小写字母表示直线
用直线上的两个点表示这条直线
点在直线上
这条直线经过这个点
点在直线外
这条直线不经过这个点
相交
当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交
intersection
交点
射线和线段都是直线的一部分
线段AB
射线OA
画线段
连接AB——画出以AB为端点的线段
延长线段AB
从端点A到端点B的方向延长
延长线段BA
从端点B到A的方向延长
反向延长线段AB
考点
判断线段、直线、射线的含义
按语句画出图形
描述点与直线的关系
6.2.2 线段的比较与运算
知识梳理
画线段
先用刻度尺量出线段AB的长度，再画一条等于这个长度的线段
先用直尺画直线l，再用圆规在直线l上取CD=AB
尺规作图
限定用无刻度的直尺和圆规作图
比较线段的长短
用刻度尺分别测量线段的长度来比较
把其中的一条线段移到另一条线段上作比较
两点之间，线段最短
距离
连接两点的线段的长度
distance
线段的运算
中点
点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M就叫作线段AB的中点
三等分点
四等分点
考点
估算线段长短关系，再去验证
作图
计算
阅读与思考 长度的测量
6.3 角
6.3.1角的概念
知识梳理
定义
有公共端点的两条射线组成的图形
angle
顶点——公共端点
边——两条射线
表示
∠AOB
∠α
测量
量角器
度、分、秒
把一个周角360等分，每一份就是1度的角
把1度的角60等分，每一份叫作1分的角
把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角
角度制
以度、分、秒为单位的角的度量制
弧度制
以弧度为基本度量单位
密位制
考点
钟表上的指针角度
表示每的方法
角度单位之间的换算
比较角的大小
作图
6.3.2角的比较与运算
知识梳理
比较
量角器测量
把一条边叠合在一起，欢察另一条边的位置
运算
将度与度，分与分，秒与秒分别运算，然后再转化（相加时，逢60要进位；相减时，要借1当60）
角的平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线
考点
比较
运算
两个角运算后等于另一个角
计算数值
作角的平分线
给角度数，要等分，计算分之后的角的度数
6.3.3余角和补角
知识梳理
余角
如果两个角的和等于90度，就说这两个角互为余角（complamentary angle）
互余，一个角是另一个角的余角
补角
如果两个角的和是180度，就说这两个角互为补角（supplementary angle）
互补，其中一个角是另一个角的补角
性质
同角/等角的余角相等
同角/等角的补角相等
考点
给出角的度数，判断是否互为余角或补角
给出角的度数，计算出余角和补角
一个角的补角和这个角的数量关系，求这个角的度数
阅读与思考 角的度量
数学活动
制作纸魔方
绘制五角星
小结
知识结构图
回顾与思考
1.描述数学名词，画出来
立体图形
平面图形
展开图
两点间的距离
线段的中点
余角
补角
角的平分线
2.举出立体图形和平面图形的实例
3.画展开图，画不同方向看到的图，说明立体图形和平面图形的联系
4.关于直线和线段有哪些重要的结论
5.关于角的知识，有哪些重要的结论？
6.结合线段和角的学习，谈谈类比方法在数学学习中的作用
综合与实践 设计学校田径运动会比赛场地
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