“立体几何初步”知识结构图
2025-04-09 16:09:26 1 举报AI智能生成
结构图
作者其他创作
大纲/内容
一、空间几何体
1. 棱柱
定义：由两个全等且平行的多边形面（底面）和若干个平行四边形面（侧面）围成的几何体。
结构特征：
底面：全等且平行的两个多边形（如三角形、四边形等）。
侧面：平行四边形，侧棱是相邻侧面的公共边。
分类：
直棱柱：侧棱垂直于底面（如长方体）。
斜棱柱：侧棱倾斜于底面。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
特殊棱柱：
平行六面体：底面为平行四边形的四棱柱。
直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体（→ 长方体）。
正方体：棱长相等的长方体。
2. 棱锥
定义：底面为多边形，其余各面为共顶点的三角形。
结构特征：
顶点：各侧面的公共顶点。
分类：
正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的投影是底面中心。
高：顶点到底面的垂直距离。
斜高：正棱锥侧面上顶点到底面边的距离。
3. 棱台
定义：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分。
结构特征：
上下底面：相似多边形。
侧面：梯形，侧棱延长线交于原棱锥顶点。
分类：正棱台（由正棱锥截得）。
4. 圆柱
定义：以矩形的一边为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体。
结构特征：
底面：全等的两个圆面。
侧面：曲面（展开为矩形），母线平行于旋转轴。
高：两底面间的距离。
5. 圆锥
定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体。
结构特征：
底面：圆形。
侧面：曲面（展开为扇形），母线为旋转斜边。
高：顶点到底面的垂直距离。
6. 圆台
定义：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分。
结构特征：
上下底面：半径不等的圆面。
侧面：曲面（展开为扇环），母线延长线交于原圆锥顶点。
二、空间几何体的表面积与体积
1. 表面积公式
几何体
棱柱
正棱锥
圆柱
圆锥
圆台
表面积公式
（为底面周长）
（为斜高）
（为母线长，）
2. 体积公式
几何体
棱柱
棱锥
圆柱
圆锥
圆台
球体
体积公式
（推导见下文）
3. 球体积公式推导（人教版）
方法一：准锥体近似法
分割：将球体分割为无数个顶点在球心、底面在球面的“准锥体”。
近似体积：每个准锥体体积 （为底面积，为球半径）。
求和：总体积 。
方法二：祖暅原理验证
对比几何体：取一个底面半径和高均为 的圆柱，挖去一个同底同高的圆锥，所得几何体称为“圆柱-圆锥组合体”。
体积计算：
圆柱体积：
圆锥体积：
组合体体积：
等价半球体积：由祖暅原理可知，组合体体积等于半球体积，故 。
三、平面的三条基本事实
基本事实1：确定平面的存在性
文字语言：若一条直线上有两点在平面内，则该直线在此平面内。
符号语言：
基本事实2：平面唯一性
文字语言：过不在同一直线上的三点有且仅有一个平面。
符号语言：
推论：
过一条直线和直线外一点确定唯一平面。
两条相交直线确定唯一平面。
基本事实3：平面交线的存在性
文字语言：若两个平面有一个公共点，则它们有且仅有一条过该点的公共直线。
符号语言：
图形语言：两平面相交于一条直线。
四、空间位置关系的判定与性质
1. 直线与直线的位置关系
关系
平行
相交
异面
判定定理（符号语言）
2. 直线与平面的位置关系
判定定理
关系
平行
垂直
斜交
判定条件
性质定理
线面平行：若线面平行，则过该直线的任意平面与原平面的交线必平行于该直线。
线面垂直：若线面垂直，则该直线垂直于平面内所有直线。
3. 平面与平面的位置关系
判定定理
关系
平行
垂直
相交
判定条件
（交线为直线）
性质定理
面面平行：两平面平行，则任意直线在一平面内的平行性在另一平面内保持。
面面垂直：若两平面垂直，则一平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面。
五、核心思想与扩展
1. 空间与平面的转化思想
三视图：通过正投影将三维几何体转化为二维图形分析。
展开图：将曲面展开为平面图形（如圆柱→矩形，圆锥→扇形）。
2. 类比推理
圆的周长→圆的面积→球的表面积→球的体积。
棱柱与圆柱、棱锥与圆锥的体积公式统一性（ 与 ）。
3. 数学实验与原理
祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” → 用于验证球体积公式。
极限思想：通过无限分割与近似求和推导表面积与体积。
注：所有公式中的符号含义：
: 表面积，: 体积，: 高，: 底面半径，: 母线长，: 球半径。
收藏
0 条评论
下一页
为你推荐
查看更多
