离散数学图论基础与算法实现
2025-04-16 13:18:48 0 举报AI智能生成
离散数学图论基础与算法实现
作者其他创作
大纲/内容
图论基础概念
图的定义
顶点（Vertex）
图的基本构成单位
顶点集合通常表示为V
边（Edge）
连接两个顶点的线段
边集合通常表示为E
无向图与有向图
无向图中边无方向
有向图中边有方向
图的表示方法
邻接矩阵
用二维数组表示图中顶点之间的连接关系
便于判断顶点间的连通性
邻接表
用链表表示每个顶点的邻接顶点
节省空间，适合稀疏图
图的分类
简单图
无自环和重边的图
完全图
任意两个不同顶点之间都存在边的图
子图
由原图的一部分顶点和边构成的图
加权图
边带有权重的图
图的遍历算法
深度优先搜索（DFS）
使用栈实现
递归或非递归方式
访问顶点的顺序
尽可能深地搜索图的分支
应用场景
迷宫求解
拓扑排序
广度优先搜索（BFS）
使用队列实现
逐层访问顶点
访问顶点的顺序
按距离源点的远近顺序访问
应用场景
最短路径问题
网络爬虫
图的连通性
连通图与非连通图
连通图
任意两个顶点都连通的图
非连通图
存在不连通的顶点对
强连通分量与弱连通分量
强连通分量
在有向图中，任意两个顶点都相互可达的顶点集合
弱连通分量
在无向图中，忽略边的方向后形成的连通分量
割点与桥
割点
删除后会增加连通分量数量的顶点
桥
删除后会增加连通分量数量的边
图的最短路径算法
Dijkstra算法
单源最短路径算法
适用于带权重的非负图
算法步骤
初始化距离表
选择最小距离顶点
更新距离表和路径表
Bellman-Ford算法
单源最短路径算法
可以处理带有负权重边的图
算法步骤
初始化距离表
进行V-1次松弛操作
检测负权重环
Floyd-Warshall算法
多源最短路径算法
计算所有顶点对之间的最短路径
算法步骤
初始化距离矩阵
通过动态规划更新矩阵
图的最小生成树
Kruskal算法
贪心算法
每次选择最小权重的边
算法步骤
将所有边按权重排序
选择不形成环的最小边加入生成树
Prim算法
贪心算法
每次选择连接已选顶点和未选顶点的最小边
算法步骤
从任意顶点开始
选择连接已选顶点集合和未选顶点集合的最小边
图的匹配问题
最大匹配
在图中找到边数最多的匹配
匈牙利算法
通过交替路径和增广路径求解
稳定婚姻问题
匹配问题的一个变种
Gale-Shapley算法
保证每个男性都能找到“稳定”的配偶
图的着色问题
图着色
给图的顶点分配颜色，使得相邻顶点颜色不同
着色算法
贪心算法
按顶点度数递减的顺序着色
回溯算法
尝试每种颜色分配，回溯解决冲突
图的算法实现
数据结构的选择
数组、链表、堆、树等
根据算法需求选择合适的数据结构
算法效率分析
时间复杂度
算法执行时间随输入规模增长的变化趋势
空间复杂度
算法执行所需存储空间随输入规模增长的变化趋势
算法优化策略
剪枝
减少不必要的计算分支
启发式方法
利用问题的特性指导搜索方向
实际应用案例
社交网络分析
社区发现、影响力分析
交通网络规划
路线优化、交通流量分析
生物信息学
基因网络分析、蛋白质交互网络
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